Matematika A3 - Komplex függvények

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

1. $\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {z}{|z|}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}{\frac {re^{j\varphi }}{r}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}e^{j\varphi }\;\;\nexists$ (különböző irányokból az origoba tartva $\varphi$ más és más)
2. $\lim _{z\rightarrow j3}{\frac {z^{2}+9}{z-j3}}=\lim _{z\rightarrow j3}{\frac {(z+j3)(z-j3)}{z-j3}}=\lim _{z\rightarrow j3}z+j3=j6$
3. $\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {1}{j2}}\left({\frac {z}{\overline {z}}}-{\frac {\overline {z}}{z}}\right)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {1}{j2}}{\frac {z^{2}-{\overline {z}}^{2}}{|z|^{2}}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}{\frac {1}{j2}}{\frac {r^{2}e^{j2\varphi }-r^{2}e^{-j2\varphi }}{r^{2}}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}{\frac {1}{j2}}\left(e^{j2\varphi }-e^{-j2\varphi }\right)=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}\sin(2\varphi )\;\;\nexists$
4. Hol folytonos $f(z)={\frac {z}{{\overline {z}}+z}}$? $\mathbb {C} \setminus \{\Re \{z\}=0\}$, mert folytonos függvényekből folytonosságot megőrző módon van összerakva.
5. Hol folytonos $f(z)={\frac {{\overline {z}}^{2}}{z}}{\text{, ha }}z\neq 0{\text{ es }}0{\text{, ha }}z=0$? Ha $z\neq 0$ akkor folytonos, de mi újság, ha $z=0$? $\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z}}^{2}}{z}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}{\frac {r^{2}e^{-j2\varphi }}{re^{j\varphi }}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}re^{-j3\varphi }=0$, tehát ott is folytonos.
6. Hol folytonos $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{\overline {z}}}{\text{, ha }}z\neq 0{\text{ es }}0{\text{, ha }}z=0$? Ha $z\neq 0$ akkor folytonos, de mi van, ha $z=0$? $\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {z+{\overline {z}}}{\overline {z}}}=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {x+jy+x-jy}{x-jy}}=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {2x}{x-jy}}$ Vizsgáljuk meg a határértéket az $x=y$ egyenes mentén: ${\frac {2x}{x-jx}}={\frac {2}{1-j}}\neq 0\Rightarrow$ találtunk egy egyenest, amely mentén nem 0 a határérték, tehát az origoban nem lehet folytonos.

---

-- Fakras Gergő gyakorlatai alapján írta MAKond - 2011.01.10.