Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)

A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!

Megjegyzések magamnak

Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...

• az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. Innen a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

Bevezetés

A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:

• Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
• Híd deformációja a terhelés függvényében
• Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
• stb.

Rendszerek ábrázolása

Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )

Példa

A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x₁, x₂, x₃, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x₁ értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):

• $x_{1}[k+1]=a_{1}\cdot x_{1}[k]+u[k+1]$
• $x_{2}[k+1]=a_{2}\cdot x_{2}[k]+b_{1}\cdot x_{1}[k]$
• $x_{3}[k+1]=a_{3}\cdot x_{3}[k]+b_{2}\cdot x_{2}[k]$
• $y[k]=b_{3}\cdot x_{3}[k]$

(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:

• $u[k]=500$ minden k-ra
• $a_{n}=0.3$ minden n-re
• $b_{n}=0.65$ minden n-re

(vegyük észre, hogy $a_{n}+b_{n}$ nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

Év (k)	Elsőévesek	Másodévesek	Harmadévesek	Végzők
1	500	0	0	0
2	650	325	0	0
3	695	520	211	0
4	709	608	401	137
5	713	643	515	260
5	714	656	572	335

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

Jelek osztályozása

Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
(én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)

• $u[k]$ a k időbeli gerjesztés
• $y[k]$ a k időbeli válasza a rendszernek
• A teljes rendszert pedig a W-vel jelöljük, így: $W\left\{u[k]\right\}=y[k]$

Gerjesztések, Válaszok száma

A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (m, mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó.
A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az u, y, etc. vektorokként értelmezendők

Idő variancia

A W operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

• Idő variáns rendszereket
• Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy $W\left\{u[k]\right\}=y[k]\Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\}=y[k-L]$.

Lineáris rendszerek

Igaz az alábbi összefüggés:

$W\left\{c_{a}\cdot u_{a}[k]+c_{b}\cdot u_{b}[k]\right\}=c_{a}\cdot W\left\{u_{a}[k]\right\}+c_{b}\cdot W\left\{u_{b}[k]\right\}$

Memória mentes, vagy memóriás

Def: Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a t ill. k pillanatban csak a gerjesztés $u(t)$ illetve $u[k]$ értékétől függ.

Kauzális, vagy akauzális

Def: Egy rendszer kauzális, ha a válasza a $t_{1}$ ill. $k_{1}$ pillanatban csak a gerjesztés $u(t),\quad t<t_{1}$ illetve $u[k],\quad k<k_{1}$ értékétől függ.

Folytonos / Diszkrét idejű jelek

Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.

• Folytonos idejű, jelölése $x(t)$
  A folytonos idejű jelek minden $t\in \mathbb {R}$ értékben értelmezettek.
• Diszkrét idejű, jelölése $x[k]$
  A diszkrét idejű jelek csak a $k\in \mathbb {Z}$ egész számok helyén értelmezettek.

Periodicitás

Folytonos időben

Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik $T\in \mathbb {R}$ periódusidő, hogy $x(t)=x(t+T)$ minden t-re.

Diszkrét időben

Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik $L\in \mathbb {Z}$ periódusidő, hogy $x[k]=x[k+L]$ minden k-ra.

Egyéb osztályozás

Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.

• Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (megjósolható, nem véletlenszerű)
  ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
• Belépő: $x(t)=0$ minden $t<0$ esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:

• páros: $x(t)=x(-t)$ (az y tengelyre szimmetrikus)
• páratlan: $x(t)=-x(-t)$ (az origóra szimmetrikus)

Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Jelek felírása

Diszkrét idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységimpulzus

$\delta [k]={\begin{cases}1&k=0\\0&{\text{egyébként}}\end{cases}}$

Egységugrás

$\epsilon [k]={\begin{cases}0&k<0\\1&k\geq 0\end{cases}}$

Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Példa 1

Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: $\epsilon [k]=\sum _{i=-\infty }^{k}\delta [i]$ (szerk.: ezt ellenőrizd le!)

Példa 2

Vegyük a következő jelet:

$x[k]={\begin{cases}0&k<0\\2\cdot 0.1^{k}&{\text{egyébként}}\end{cases}}$.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]} .

Itt ugye a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \delta[k-i]} csak a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k = i} esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]} .

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k = i} esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]=x[k]}

DE!

LTI rendszer válasza

Nevezetes válaszok

• Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle h[k]}
• Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

Konvolúció

Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

• Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = W\left\{u[k]\right\}}
• Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}}
• mivel ez lineáris rendszer, így: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}}
• mivel ez idő invariáns rendszer, így: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]}

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:

• egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
• lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
• számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

Kauzális rendszer, belépő jel esetén

Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i]}

Folytonos idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységugrás

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}}

Megjegyzés: Az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(0)} -t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

Egységimpulzus

Írjuk fel az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(t, T)} függvényt a következőképpen:

$\epsilon (t,T)={\begin{cases}0&t<0\\1/T&t\in (0,T)\\0&t>T\end{cases}}$

Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet. $\int _{-\infty }^{\infty }\epsilon (t,T)dt=1$

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az $\epsilon (t,T)$-ben a T tart nullához.

Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:

• $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot \delta (t-\tau )d\tau =f(t)$

Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:

• $\delta (t)=\epsilon '(t)$
• $\epsilon (t)=\int _{-\infty }^{t}\delta (\tau )d\tau$

LTI rendszer válasza

Nevezetes válaszok

• Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: $h(t)$
• Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

Konvolúció

Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:

$y(t)=\int _{i=-\infty }^{\infty }u(\tau )\cdot h(t-\tau )d\tau$

A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.

Jelek állapotváltozós leírása

Diszkrét idejű jelek esetén

Állapotváltozós leírás

Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:

• ${\underline {x[k+1]}}={\underline {A}}\cdot {\underline {x[k]}}+{\underline {B}}\cdot u[k]$
• ${\underline {y[k]}}={\underline {C}}\cdot {\underline {x[k]}}+{\underline {D}}\cdot u[k]$

Ennek így elsőre semmi értelme, de:

• ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
• ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
• és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.

Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.

Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:

• $x_{1}[k+1]=A_{11}\cdot x_{1}[k]+A_{12}\cdot x_{2}[k]+B_{1}\cdot u[k+1]$
• $x_{2}[k+1]=A_{21}\cdot x_{1}[k]+A_{22}\cdot x_{2}[k]+B_{2}\cdot u[k+1]$
• $y[k]=C_{1}\cdot x_{1}[k]+C_{2}\cdot x_{2}[k]+D\cdot u[k]$

Impulzusválasz állapotváltozós leírásból

Az így felírt rendszer impulzusválasza:

$h[k]=d\cdot \delta [k]+\epsilon [k-1]\cdot ({\underline {c}}\cdot {\underline {\underline {A}}}^{k-1}\cdot {\underline {B}})$

Mátrix egyszerű hatványozása

Ebből az ${\underline {\underline {A}}}^{k-1}$ kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).

Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz): $\sum _{i=0}^{k}{\lambda _{i}}^{k}\cdot {\underline {\underline {L_{i}}}}$

Ahol az egyes ${\underline {\underline {L_{i}}}}$-k az A mátrix Lagrange mátrixai, míg a $\lambda _{i}$-k az A mátrix sajátértékei.

A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk: $\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0$

Azaz: $((A_{11}-\lambda )\cdot (A_{22}-\lambda ))-(A_{12}\cdot A_{21})=0$

A Lagrange mátrix pedig általánosságban: ${\underline {\underline {L_{i}}}}=\prod _{p=1}^{N}{\frac {{\underline {\underline {A}}}-\lambda _{p}\cdot {\underline {\underline {E}}}}{\lambda _{i}-\lambda _{p}}}$ Konkrétabban:

• ${\underline {\underline {L_{1}}}}={\frac {{\underline {\underline {A}}}-\lambda _{2}\cdot {\underline {\underline {E}}}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}$
• ${\underline {\underline {L_{2}}}}={\frac {{\underline {\underline {A}}}-\lambda _{1}\cdot {\underline {\underline {E}}}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}$

Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}

Folytonos idejű jelek esetén

Impulzusválasz állapotváltozós leírásból

Az így felírt rendszer impulzusválasza:

$h(t)=d\cdot \delta (t)+\epsilon (t)\cdot ({\underline {c}}\cdot e^{{\underline {\underline {A}}}\cdot t}\cdot {\underline {B}})$

$e^{{\underline {\underline {A}}}\cdot t}=\sum _{i=1}^{N}e^{\lambda _{i}\cdot t}\cdot {\underline {\underline {L_{i}}}}$