Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)

1. Gyakorlat

Periodicitás vizsgálata

Diszkrét idejű jelek

Adott Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = \cos(\varphi k)} . Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:

• Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L))}
• Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L)}
• $2n\pi =\varphi L$
• $L={\frac {2n\pi }{\varphi }}$

Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:

• Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
• Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
• Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a $2n\pi =\varphi L$ összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

$y[k]=\cos(3k)$

Nem.

• $2n\pi =\varphi L$
• $\varphi =3$
• $2n\pi =3L$
• $L={\frac {2n\pi }{3}}$

Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k $\pi$ racionális többszöröse.

$y[k]=\cos(k{\frac {\pi }{17}}+{\frac {\pi }{3}})$

Igen.

• $y[k]=\cos(k{\frac {\pi }{17}}+{\frac {\pi }{3}})$
• $2n\pi =\varphi L$
• $\varphi ={\frac {\pi }{17}}$
• $2n\pi ={\frac {\pi }{17}}L$
• $2={\frac {L}{17}}$
• $L=2\cdot 17=34$

$y[k]=\cos(k{\frac {2}{5}}+{\frac {\pi }{2}})$

Nem.

$y[k]=\cos(k{\frac {3\pi }{19}}+{\frac {\pi }{2}})$

Igen. $L=38$

$y[k]=\sin(k{\frac {5}{13}}+{\frac {\pi }{4}})$

Nem.

$y[k]=\sin(k{\frac {5\pi }{13}}+{\frac {\pi }{4}})$

Igen. $L=26$

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: $T\in \mathbb {R}$.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

$y(t)=5\cos(2t)+3\sin(4t)+10$

Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes részeinek periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.

Az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y(t)} jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:

• 1. Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 5 \cos(2t)}
• 2. Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 3 \sin(4t)}
• 3. Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 10}

Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:

• Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T_1 = \pi}
• Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T_2 = \frac{\pi}{2}}

Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T = \pi} .

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y(t) = 4 \cos(4t) + 5 \sin(7t)}

A fentiek alapján periodikus, periódusideje: Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T = 2\pi} .

• Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T_1 = \frac{\pi}{2}}
• Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T_2 = \frac{2\pi}{7}}

Rendszer válaszának kiszámolása lépésenként

Diszkrét idejű jelek

Adott a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] + 0.8y[k-1] = 3u[k] + 4u[k-1]} öszefüggés. Továbbá tudjuk, hogy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[-1] = 5} , s Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle u[k] = 2\cdot\epsilon[k]} . Számoljuk ki az y értékeit különböző k értékekre.

Az előadásvázlatban van hasonló példa. Az egészet Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = ... } -ra rendezve kapunk egy egyszerű összefüggést. Mivel tudjuk az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[-1]} -et, így az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[0]} triviálisan számolható. Ezek után a következő, majd a következő, majd az azt követő y érték is. Valahogy így:

k	u	y
-1	0	5
0	2	2
1	2	12.4
2	2	...

A gyakorlaton ezt még felrajzoltuk egy grafikonra. Két dolgot jegyeztünk meg:

• A diszkrét értékeket nem kötjük össze!
• A tengelyek legyenek elnevezve!

A fenti módszer hátránya, hogyha szeretném tudni a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[538]} értékét, akkor ahhoz ki kell számolni a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[537]} értékét, és így tovább összes korábbi értéket is.

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek is lehetnének hasonlóan számolhatóak, de ott a megfelelő lépésköz sokkal nehezebben meghatározható (gondolj a Taylor polinommal való közelítésre).

2. Gyakorlat

Itt nem voltam, sry. Aki akarja, pótolja nyugodtan ide

3. Gyakorlat

1. feladat

Moriczkának 1000 pénze van. 10% éves kamatra beteszi a bankba, ahol azt évente tőkésítik.

• Mennyi pénze lesz Móriczkának 1-2-3 év múlva? Számold ki kézzel!
• Rajzolj jelfolyam hálózatot.

2. feladat

Az előadásjegyzetben pedzegetett hallgatós példa, csak más számokkal. A fent linkelt előadás-jegyzetem legelején megtalálod, nem részletezem itt.

3. feladat

Adott az alábbi rendszer: (szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io -n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqWGNHcDE2MDkzems )

Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát!

A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.

A, B, C, D mátrixok

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \underline{\underline{A}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -0.05 & -0.6 \end{bmatrix}}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \underline{B} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1.5 \end{bmatrix}}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \underline{C}^T = \begin{bmatrix} 0 & 1\end{bmatrix}}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle d = 1}

Saját értékek, Lagrange Mátrixok

$\lambda _{1}=-0.1$

$\lambda _{2}=-0.5$

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \underline{\underline{L_1}} = \begin{bmatrix} 1.25 & 2.5 \\ -0.125 & -0.25 \end{bmatrix}}

${\underline {\underline {L_{2}}}}={\begin{bmatrix}-0.25&-2.5\\0.125&1.25\end{bmatrix}}$

${\underline {C}}^{T}\cdot {\underline {\underline {L_{1}}}}\cdot {\underline {B}}=-0.125$

${\underline {C}}^{T}\cdot {\underline {\underline {L_{2}}}}\cdot {\underline {B}}=1.625$

Impulzusválasz

$h[k]=\delta [k]+\epsilon [k-1]\cdot (-0.125\cdot (-0.1^{k})+1.625\cdot (-0.5^{k}))$

4. gyakorlat

1. feladat

Lásd az előző gyakorlat 3. feladatát. Adott ugyanez a rendszer, csak folytonos időben. Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát! A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.

Ami ugyanaz

Az A, B, C, D mátrixok, a Lagrange mátrixok, az A mátrix sajátértékei azonosak.

Impulzusválasz

$h(t)=\delta (t)+\epsilon (t)\cdot (e^{-0.1\cdot t}\cdot -0.125+e^{-0.5\cdot t}\cdot 1.625)$

Válasz

• Ha a gerjesztés: $u(t)=2\epsilon (t)$
• $y(t)=-0.25\cdot e^{-0.1\cdot t}({\frac {e^{0.1\cdot t}}{0.1}}-{\frac {1}{0.1}})+3.25\cdot e^{-0.5\cdot t}({\frac {e^{0.5\cdot t}}{0.5}}-{\frac {1}{0.5}})$
• $y(t)=\epsilon (t)\cdot (6+2.5\cdot e^{-0.1\cdot t}-6.5\cdot e^{-0.5\cdot t})$