„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

(Egy közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)

29. sor:

limx->0 x / sin(x) = 1

f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)

f'(x0) = lim~~deltax~~->0 ( f(x0 + ~~deltax~~) - f(x0) ) / ~~deltax~~

f'(x0) = limΔx->0 ( f(x0 + Δx) - f(x0) ) / Δx

cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2

sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2

46. sor:

=== Integrálás ===

ʃ f(x) dx = F(x) + C

ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C

ʃ f( φ(x) ) * φ'(x) dx = F( φ(x) ) + C

ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1

ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C

121. sor:

=== Magasabbrendű DE-k ===

=== Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===

Megoldás: C * eʎ*x alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.

Megoldás: C * eλ*x alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.

'''Példa:'''

y(3) + 2 * y(2) + y' = 0

ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 ~~// nem találtam half-life jelet :(~~

λ3 + 2 * λ2 + λ = 0

ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)

λ * ( λ2 + 2 * λ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)

ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0

λ * ( λ + 1 )2 = 0

első feléből ʎ1 = 0

első feléből λ1 = 0

második feléből ʎ2 = -1

második feléből λ2 = -1

DE 3 megoldás kell!!!

ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk meg x-el beszorzott tagokat

136. sor:

'''Példa 2:'''

y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0

ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-t

λ3 + 4 * λ2 + 13 * λ = 0 // kiemelsz λ-t

ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0

λ( λ2 + 4 * λ + 13 ) = 0

ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0

λ( (λ + 2)2 + 9 ) = 0

első feléből ʎ1 = 0

első feléből λ1 = 0

második feléből:

-9 = (ʎ + 2)2

-9 = (λ + 2)2

-91/2 = ʎ + 2

-91/2 = λ + 2

-91/2 - 2 = ʎ

-91/2 - 2 = λ

3*i - 2 = ʎ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba

3*i - 2 = λ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba

-3*i - 2 = ʎ

-3*i - 2 = λ

yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x)

tehát a valós rész lesz a ʎ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje

tehát a valós rész lesz a λ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje

'''Példa 3:'''

adott egy megoldás: 2 * e5 * x - e-3 * x

ebből kell a DE-et felírni.

ebből rögtön latjuk is, hogy ʎ1 = 5

ebből rögtön latjuk is, hogy λ1 = 5

ʎ2 = -3

λ2 = -3

tehát ebből következtethetünk a karakterisztikus egyenletre:

(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0

(λ - 5) * (λ + 3) = 0

innentől 'csak' át kell rendezni, és megoldani

ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0

λ2 + 3 * λ - 5 * λ - 15 = 0

ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0

λ2 - 2 * λ - 15 = 0

y(2) - 2 * y - 15 = 0

168. sor:

Ebből kell a homogén DE megoldása.

a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0

yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak

yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eλ*x -os alak

Az inhomogén partikuláris megoldása ebből az alábbi alakban lesz:

itt C1 és C2 ismeretlenek, y1, és (opcionálisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-ből 'generálódnak' (lásd alább)

187. sor:

'''Konkrét példa:'''

y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)

ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0

λ2 - 5 * λ + 6 = 0

ʎ1 = 2

λ1 = 2

ʎ2 = 3

λ2 = 3

yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x

yip = A * f(x) + B * f'(x)

267. sor:

'''Példa (keresztről):'''

y' = sin( y ) + 2 + x

y( x = pi ) = 1

y( x = π ) = 1

y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)

felső becsles a hibára?

y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radiánban van --> számológép!

y'( x = π ) = sin( 1 ) + 2 + π // itt az 1 elvileg radiánban van --> számológép!

y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1

y(2)( x = π ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + π ) + 1

T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi)

T( x0 = π ) = y( π ) + y'( π ) * (x - π) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (x - π)

y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanár nagyon becsülte!

y(3) ~= T( x0 = π, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (3 - π) ~= -0.2 // ezt a tanár nagyon becsülte!

létezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartományban van, mivel felső becslest csinálunk, ezert pi-t választjuk xi-nek.

létezik olyan xi, hogy [3 ; π] tartományban van, mivel felső becslest csinálunk, ezert π-t választjuk xi-nek.

hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is!

hiba = | y(3) - T( x0 = π, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - π)2 ~= 0.1 // meg ezt is!

tehát a megoldás: -0.2 +- 0.1

300. sor:

* ha a függvény páros --> bk = 0

* ha a függvény páratlan --> ak = 0, a0 = 0

* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )

* Φ(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )

* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...

* ak = 1 / π * ʃπ-π f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...

* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...

* bk = 1 / π * ʃπ-π f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...

* páratlan * páratlan = páros // ezt már nem tudom miért volt a lapon :D --> nézzél feladatot

* ha [-pi ; 0] és [0 ; pi] között ugyanaz a függvény, akkor ez páros függvény lesz

* ha [-π ; 0] és [0 ; π] között ugyanaz a függvény, akkor ez páros függvény lesz

* ekkor elég [0 ; pi] -ig integrálni. A 0 értékű tartományokat ezután ki lehet venni.

* ekkor elég [0 ; π] -ig integrálni. A 0 értékű tartományokat ezután ki lehet venni.

* ki kell integrálni a függvényt

* vissza kell helyettesíteni fi(x)-be

* vissza kell helyettesíteni Φ(x)-be

* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesíteni, a szakadási helyeknél: ( f(x+) + f(x-) ) / 2

* Φ(x) = f(x) --> be kell helyettesíteni, a szakadási helyeknél: ( f(x+) + f(x-) ) / 2

377. sor:

* ha z0 a koron kívülre esik, akkor a függvény reguláris, ʃ f(z) ds = 0

* ha z0 pont a körön van --> nem értelmezett az integrál

* ha z0 a körben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)

* ha z0 a körben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * π * i) / n! * f(n)(z0)

* ha több z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor kettő integrál összegére kell bontani, majd mind a kettőre |z|-t úgy kell választani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nézz feladatot!), természetesen ilyenkor előbb meg kell nézni az előző három pontot, hogy esetleg nem értelmezzük, kívül esik-e stb. mert akkor nem kell integrálni...

411. sor:

=== Polárkoordináták ===

Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)

polárban: v = (r, fi)

polárban: v = (r, φ)

Átváltás:

x = r * cos( fi )

x = r * cos( φ )

y = r * sin( fi )

y = r * sin( φ )

itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezárt szög

itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög

r = sqrt( x2 + y2 )

fi eleme [0 ; 2 * pi]

φ eleme [0 ; 2 * π]

Jakobi determináns |J|:

|matrix| = r // azaz az alábbi matrix determinánsa

A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltakból ~~all~~, a második pedig a fi szerintiekből. // HF: számold ki ;)

A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltakból áll, a második pedig a φ szerintiekből. // HF: számold ki ;)

Ha pl egy integrálnál at kell váltani a koordinátarendszert, akkor a függvényt az átváltás után be kell szorozni |J|-vel.

ez a típus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integrálban)

432. sor:

ugyanaz mint a henger, csak itt egy gömb felületen van az egész.

átváltás:

x = r * sin( b ) * cos( fi )

x = r * sin( β ) * cos( φ )

y = r * sin( b ) * sin( fi )

y = r * sin( β ) * sin( φ )

z = r * cos( b )

z = r * cos( β )

r = sqrt( x2 + y2 + z2 )

fi eleme [0 ; 2 * pi]

φ eleme [0 ; 2 * π]

b eleme [0 ; pi] ~~// am a b az beta, de mindegy hogy hívod :D~~

β eleme [0 ; π]

|J| = r2 * sin( b )

|J| = r2 * sin( β )

A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltak (már 3 elem), a második a fi szerinti deriváltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: számold ki ;)

A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltak (már 3 elem), a második a φ szerinti deriváltak, a harmadik a β szerintiek. // HF: számold ki ;)

'''Példa:'''

448. sor:

T első részéből megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3

A második, harmadik részből megtudjuk, hogy ennek a körnek a második negyedének a területe kell.

Tehát fi eleme [pi / 2 ; pi] tartománynak (itt kell majd integrálni)

Tehát φ eleme [π / 2 ; π] tartománynak (itt kell majd integrálni)

x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi )

x = r * cos( φ ) = 3 * cos( φ )

y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi )

y = r * sin( φ ) = 3 * sin( φ )

Ne felejts el beszorozni |J|-vel!

átváltás után:

ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 ~~dfidr~~ // tartomány: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]

ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dφ dr // tartomány: r: [0 ; 3], φ: [π / 2 ; π]

ezt már ki tudjuk integrálni, a megoldás: pi / 64 * ( 228 - 48 )

ezt már ki tudjuk integrálni, a megoldás: π / 64 * ( 228 - 48 )

'''Példa 2:'''

466. sor:

R = 6 - R2 --> másodfokú, R1 = -3, R2 = 2, ebből a -3 nem valószínű, hogy jó.

Tehát az integrál a következő lesz:

ʃʃʃ r ~~dzdrdfi~~, a tartomány:

ʃʃʃ r dz dr dφ, a tartomány:

z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinálni, viszont meg így is számolható lesz.

r: [0 ; 2]

fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapértelmezett tartományt használjuk.

φ: [0 ; 2 * π] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapértelmezett tartományt használjuk.

Innen ez már simán kiintegrálható, nekem 33.51 jött ki.

'''Példa 3:'''

Tartománycserés integrál.

ʃʃ (1 + x3)1 / 5 ~~dxdy~~

ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dx dy

T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16]

Ha felrajzoljuk a tartományt, akkor láthatjuk, hogy ez valami vitorla alakú izé lesz.

482. sor:

Ha ránézünk a rajzra, akkor láthatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz.

Tehát az integrál a következő lesz:

ʃʃ (1 + x3)1 / 5 ~~dydx~~

ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dy dx

T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2]

Innen ez is simán kiintegrálható.

490. sor:

=== Komplex számok ===

z = x + i * y // itt x a valós rész, y a képzetes, i = sqrt(-1)

f komplex differenciálható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> ~~delta~~ u = u ' 'xx + u ' 'yy = 0

f komplex differenciálható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> Δ u = u ' 'xx + u ' 'yy = 0

'''Azonosságok:'''

499. sor:

|z|2 = z * /z

|z| = |/z|

arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezárt szög, trigonometrikusnál fi

arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezárt szög, trigonometrikusnál φ

/(z1 + z2) = /z1 + /z2

'''Trigonometrikus alak:'''

z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezárt szög

z = r * ( cos(φ) + i * sin(φ) ) // itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög

r = |z|

fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi]

φ = arg(z) // φ: [-π ; π]

'''Exponenciális alak:'''

z = r * efi * i // úgy lehet megjegyezni, hogy Réffy J. (már akit tanított)

z = r * eφ * i // úgy lehet megjegyezni, hogy Réffy J. (már akit tanított)

'''Komplex szorzás:'''

z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i

z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(φ + b) + i * sin(φ + b) ) = r1 * r2 * e(φ + b) * i

'''Osztás:'''

z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i

z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(φ - b) + i * sin(φ - b) ) = r1 / r2 * e(φ - b) * i

'''Hatványozás:'''

zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) )

zn = rn * ( cos(φ * n) + i * sin(φ * n) )

'''Gyökvonás:'''

z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) )

z1 / n = r1 / n * e( (φ + 2 * k * π) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (φ + 2 * k * π) / n ) + i * sin( (φ + 2 * k * π) / n ) )

'''Euler-formula:'''

ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nézz feladatot!

ei * φ = cos(φ) + i * sin(φ) // erre nézz feladatot!

536. sor:

u(2)yx = -v(2)xx

Young tétel: ha egy pont környékén a >= 2 fokú parciális deriváltak léteznek és folytonosak, akkor függetlenek a deriválás sorrendjétől. Tehát xy és yx ugyanaz lesz.

~~deltau~~ = u(2)xx + u(2)yy

Δu = u(2)xx + u(2)yy

'''Lokális szélsőértékek:'''

van, ha f'x = f'y = 0, és // szükséges feltétel

@@ 29. sor: / 29. sor: @@
 lim<sub>x->0</sub> x / sin(x) = 1<br />
 f'(x0) = lim<sub>x->0</sub> ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)<br />
-f'(x0) = lim<sub>deltax->0</sub> ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax<br />
+f'(x0) = lim<sub>Δx->0</sub> ( f(x0 + Δx) - f(x0) ) / Δx<br />
 cosh(x) = ( e<sup>x</sup> + e<sup>-x</sup> ) / 2<br />
 sinh(x) = ( e<sup>x</sup> - e<sup>-x</sup> ) / 2<br />
@@ 46. sor: / 46. sor: @@
 === Integrálás ===
 ʃ f(x) dx = F(x) + C<br />
-ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C<br />
+ʃ f( φ(x) ) * φ'(x) dx = F( φ(x) ) + C<br />
 ʃ f<sup>a</sup>(x) * f'(x) dx = ( f(x)<sup>a + 1</sup> ) / (a + 1) + C // a != -1<br />
 ʃ e<sup>f(x)</sup> * f'(x) dx = e<sup>f(x)</sup> + C<br />
@@ 121. sor: / 121. sor: @@
 === Magasabbrendű DE-k ===
 === Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
-Megoldás: C * e<sup>ʎ*x</sup> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.<br />
+Megoldás: C * e<sup>λ*x</sup> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.<br />
 '''Példa:'''<br />
 y<sup>(3)</sup> + 2 * y<sup>(2)</sup> + y' = 0<br />
-ʎ<sup>3</sup> + 2 * ʎ<sup>2</sup> + ʎ = 0 // nem találtam half-life jelet :(<br />
+λ<sup>3</sup> + 2 * λ<sup>2</sup> + λ = 0<br />
-ʎ * ( ʎ<sup>2</sup> + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)<br />
+λ * ( λ<sup>2</sup> + 2 * λ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)<br />
-ʎ * ( ʎ + 1 )<sup>2</sup> = 0<br />
+λ * ( λ + 1 )<sup>2</sup> = 0<br />
-első feléből ʎ<sub>1</sub> = 0<br />
+első feléből λ<sub>1</sub> = 0<br />
-második feléből ʎ<sub>2</sub> = -1 <br />
+második feléből λ<sub>2</sub> = -1 <br />
 DE 3 megoldás kell!!!<br />
 ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk meg x-el beszorzott tagokat<br />
@@ 136. sor: / 136. sor: @@
 '''Példa 2:'''<br />
 y<sup>(3)</sup> + 4 * y<sup>(2)</sup> + 13 * y' = 0<br />
-ʎ<sup>3</sup> + 4 * ʎ<sup>2</sup> + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-t<br />
+λ<sup>3</sup> + 4 * λ<sup>2</sup> + 13 * λ = 0 // kiemelsz λ-t<br />
-ʎ( ʎ<sup>2</sup> + 4 * ʎ + 13 ) = 0<br />
+λ( λ<sup>2</sup> + 4 * λ + 13 ) = 0<br />
-ʎ( (ʎ + 2)<sup>2</sup> + 9 ) = 0<br />
+λ( (λ + 2)<sup>2</sup> + 9 ) = 0<br />
-első feléből ʎ<sub>1</sub> = 0<br />
+első feléből λ<sub>1</sub> = 0<br />
 második feléből:<br />
--9 = (ʎ + 2)<sup>2</sup><br />
+-9 = (λ + 2)<sup>2</sup><br />
--9<sup>1/2</sup> = ʎ + 2<br />
+-9<sup>1/2</sup> = λ + 2<br />
--9<sup>1/2</sup> - 2 = ʎ<br />
+-9<sup>1/2</sup> - 2 = λ<br />
-*i - 2 = ʎ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba<br />
+*i - 2 = λ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba<br />
--3*i - 2 = ʎ<br />
+-3*i - 2 = λ<br />
 <br />
 y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>0 * x</sup> + C2 * e<sup>-2 * x</sup> * cos(3 * x) + C3 * e<sup>-2 * x</sup> * sin(3 * x)<br />
-tehát a valós rész lesz a ʎ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje<br />
+tehát a valós rész lesz a λ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje<br />
 <br />
 '''Példa 3:'''<br />
 adott egy megoldás: 2 * e<sup>5 * x</sup> - e<sup>-3 * x</sup><br />
 ebből kell a DE-et felírni.<br />
-ebből rögtön latjuk is, hogy ʎ<sub>1</sub> = 5<br />
+ebből rögtön latjuk is, hogy λ<sub>1</sub> = 5<br />
-ʎ<sub>2</sub> = -3<br />
+λ<sub>2</sub> = -3<br />
 tehát ebből következtethetünk a karakterisztikus egyenletre:<br />
-(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0<br />
+(λ - 5) * (λ + 3) = 0<br />
 innentől 'csak' át kell rendezni, és megoldani<br />
-ʎ<sup>2</sup> + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0<br />
+λ<sup>2</sup> + 3 * λ - 5 * λ - 15 = 0<br />
-ʎ<sup>2</sup> - 2 * ʎ - 15 = 0<br />
+λ<sup>2</sup> - 2 * λ - 15 = 0<br />
 y<sup>(2)</sup> - 2 * y - 15 = 0<br />
 <br />
@@ 168. sor: / 168. sor: @@
 Ebből kell a homogén DE megoldása.<br />
 a(x) * y<sup>(2)</sup> + b(x) * y' + c(x) * y = 0<br />
-y<sub>h</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e<sup>ʎ*x</sup> -os alak<br />
+y<sub>h</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e<sup>λ*x</sup> -os alak<br />
 Az inhomogén partikuláris megoldása ebből az alábbi alakban lesz:<br />
 itt C1 és C2 ismeretlenek, y1, és (opcionálisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-ből 'generálódnak' (lásd alább)<br />
@@ 187. sor: / 187. sor: @@
 '''Konkrét példa:'''<br />
 y<sup>(2)</sup> - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)<br />
-ʎ<sup>2</sup> - 5 * ʎ + 6 = 0<br />
+λ<sup>2</sup> - 5 * λ + 6 = 0<br />
-ʎ<sub>1</sub> = 2<br />
+λ<sub>1</sub> = 2<br />
-ʎ<sub>2</sub> = 3<br />
+λ<sub>2</sub> = 3<br />
 y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>2 * x</sup> + C2 * e<sup>3 * x</sup><br />
 y<sub>ip</sub> = A * f(x) + B * f'(x)<br />
@@ 267. sor: / 267. sor: @@
 '''Példa (keresztről):'''<br />
 y' = sin( y ) + 2 + x<br />
-y( x = pi ) = 1<br />
+y( x = π ) = 1<br />
 y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)<br />
 felső becsles a hibára?<br />
-y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radiánban van --> számológép!<br />
+y'( x = π ) = sin( 1 ) + 2 + π // itt az 1 elvileg radiánban van --> számológép!<br />
-y<sup>(2)</sup>( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1<br />
+y<sup>(2)</sup>( x = π ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + π ) + 1<br />
-T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi)<br />
+T( x0 = π ) = y( π ) + y'( π ) * (x - π) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (x - π)<br />
-y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanár nagyon becsülte!<br />
+y(3) ~= T( x0 = π, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (3 - π) ~= -0.2 // ezt a tanár nagyon becsülte!<br />
-létezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartományban van, mivel felső becslest csinálunk, ezert pi-t választjuk xi-nek.<br />
+létezik olyan xi, hogy [3 ; π] tartományban van, mivel felső becslest csinálunk, ezert π-t választjuk xi-nek.<br />
-hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f<sup>(2)</sup>(xi) / 2! ) * (3 - pi)<sup>2</sup> ~= 0.1 // meg ezt is!<br />
+hiba = | y(3) - T( x0 = π, x = 3 ) | = Lagrange = ( f<sup>(2)</sup>(xi) / 2! ) * (3 - π)<sup>2</sup> ~= 0.1 // meg ezt is!<br />
 tehát a megoldás: -0.2 +- 0.1<br />
 <br />
@@ 300. sor: / 300. sor: @@
 * ha a függvény páros --> b<sub>k</sub> = 0
 * ha a függvény páratlan --> a<sub>k</sub> = 0, a0 = 0
-* fi(x) = a0 / 2 + sum( a<sub>k</sub><sup>cos(k * x) + sin(k * x)</sup> )
+* Φ(x) = a0 / 2 + sum( a<sub>k</sub><sup>cos(k * x) + sin(k * x)</sup> )
-* a<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>-pi</sub> f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
+* a<sub>k</sub> = 1 / π * ʃ<sup>π</sup><sub>-π</sub> f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
-* b<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>-pi</sub> f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
+* b<sub>k</sub> = 1 / π * ʃ<sup>π</sup><sub>-π</sub> f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
 * páratlan * páratlan = páros // ezt már nem tudom miért volt a lapon :D --> nézzél feladatot
-* ha [-pi ; 0] és [0 ; pi] között ugyanaz a függvény, akkor ez páros függvény lesz
+* ha [-π ; 0] és [0 ; π] között ugyanaz a függvény, akkor ez páros függvény lesz
-* ekkor elég [0 ; pi] -ig integrálni. A 0 értékű tartományokat ezután ki lehet venni.
+* ekkor elég [0 ; π] -ig integrálni. A 0 értékű tartományokat ezután ki lehet venni.
 * ki kell integrálni a függvényt
-* vissza kell helyettesíteni fi(x)-be
+* vissza kell helyettesíteni Φ(x)-be
-* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesíteni, a szakadási helyeknél: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
+* Φ(x) = f(x) --> be kell helyettesíteni, a szakadási helyeknél: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 <br />
@@ 377. sor: / 377. sor: @@
 * ha z0 a koron kívülre esik, akkor a függvény reguláris, ʃ f(z) ds = 0
 * ha z0 pont a körön van --> nem értelmezett az integrál
-* ha z0 a körben van --> ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz = (2 * pi * i) / n! * f<sup>(n)</sup>(z0)
+* ha z0 a körben van --> ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz = (2 * π * i) / n! * f<sup>(n)</sup>(z0)
 * ha több z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor kettő integrál összegére kell bontani, majd mind a kettőre |z|-t úgy kell választani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nézz feladatot!), természetesen ilyenkor előbb meg kell nézni az előző három pontot, hogy esetleg nem értelmezzük, kívül esik-e stb. mert akkor nem kell integrálni...
 <br />
@@ 411. sor: / 411. sor: @@
 === Polárkoordináták ===
 Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)<br />
-polárban: v = (r, fi)<br />
+polárban: v = (r, φ)<br />
 Átváltás:<br />
-x = r * cos( fi )<br />
+x = r * cos( φ )<br />
-y = r * sin( fi )<br />
+y = r * sin( φ )<br />
-itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezárt szög<br />
+itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög<br />
 r = sqrt( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> )<br />
-fi eleme [0 ; 2 * pi]<br />
+φ eleme [0 ; 2 * π]<br />
 Jakobi determináns |J|:<br />
 |matrix| = r // azaz az alábbi matrix determinánsa<br />
-A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltakból all, a második pedig a fi szerintiekből. // HF: számold ki ;)<br />
+A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltakból áll, a második pedig a φ szerintiekből. // HF: számold ki ;)<br />
 Ha pl egy integrálnál at kell váltani a koordinátarendszert, akkor a függvényt az átváltás után be kell szorozni |J|-vel.<br />
 ez a típus hasznos x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> esetben (amikor ilyesmi van az integrálban)<br />
@@ 432. sor: / 432. sor: @@
 ugyanaz mint a henger, csak itt egy gömb felületen van az egész.<br />
 átváltás:<br />
-x = r * sin( b ) * cos( fi )<br />
+x = r * sin( β ) * cos( φ )<br />
-y = r * sin( b ) * sin( fi )<br />
+y = r * sin( β ) * sin( φ )<br />
-z = r * cos( b )<br />
+z = r * cos( β )<br />
 r = sqrt( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> )<br />
-fi eleme [0 ; 2 * pi]<br />
+φ eleme [0 ; 2 * π]<br />
-b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mindegy hogy hívod :D<br />
+β eleme [0 ; π]<br />
-|J| = r<sup>2</sup> * sin( b )<br />
+|J| = r<sup>2</sup> * sin( β )<br />
-A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltak (már 3 elem), a második a fi szerinti deriváltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: számold ki ;)<br />
+A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltak (már 3 elem), a második a φ szerinti deriváltak, a harmadik a β szerintiek. // HF: számold ki ;)<br />
 <br />
 '''Példa:'''<br />
@@ 448. sor: / 448. sor: @@
 T első részéből megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3<br />
 A második, harmadik részből megtudjuk, hogy ennek a körnek a második negyedének a területe kell.<br />
-Tehát fi eleme [pi / 2 ; pi] tartománynak (itt kell majd integrálni)<br />
+Tehát φ eleme [π / 2 ; π] tartománynak (itt kell majd integrálni)<br />
-x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi )<br />
+x = r * cos( φ ) = 3 * cos( φ )<br />
-y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi )<br />
+y = r * sin( φ ) = 3 * sin( φ )<br />
 Ne felejts el beszorozni |J|-vel!<br />
 átváltás után:<br />
-ʃʃ r * ( 2 * r<sup>2</sup> + 4 )<sup>7</sup> dfidr // tartomány: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]<br />
+ʃʃ r * ( 2 * r<sup>2</sup> + 4 )<sup>7</sup> dφ dr // tartomány: r: [0 ; 3], φ: [π / 2 ; π]<br />
-ezt már ki tudjuk integrálni, a megoldás: pi / 64 * ( 22<sup>8</sup> - 4<sup>8</sup> )<br />
+ezt már ki tudjuk integrálni, a megoldás: π / 64 * ( 22<sup>8</sup> - 4<sup>8</sup> )<br />
 <br />
 '''Példa 2:'''<br />
@@ 466. sor: / 466. sor: @@
 R = 6 - R<sup>2</sup> --> másodfokú, R<sub>1</sub> = -3, R<sub>2</sub> = 2, ebből a -3 nem valószínű, hogy jó.<br />
 Tehát az integrál a következő lesz:<br />
-ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomány:<br />
+ʃʃʃ r dz dr dφ, a tartomány:<br />
 z: [r ; 6 - r<sup>2</sup> // ezzel nem tudunk mit csinálni, viszont meg így is számolható lesz.<br />
 r: [0 ; 2]<br />
-fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapértelmezett tartományt használjuk.<br />
+φ: [0 ; 2 * π] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapértelmezett tartományt használjuk.<br />
 Innen ez már simán kiintegrálható, nekem 33.51 jött ki.<br />
 <br />
 '''Példa 3:'''<br />
 Tartománycserés integrál.<br />
-ʃʃ (1 + x<sup>3</sup>)<sup>1 / 5</sup> dxdy<br />
+ʃʃ (1 + x<sup>3</sup>)<sup>1 / 5</sup> dx dy<br />
 T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16]<br />
 Ha felrajzoljuk a tartományt, akkor láthatjuk, hogy ez valami vitorla alakú izé lesz. <br />
@@ 482. sor: / 482. sor: @@
 Ha ránézünk a rajzra, akkor láthatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz.<br />
 Tehát az integrál a következő lesz:<br />
-ʃʃ (1 + x<sup>3</sup>)<sup>1 / 5</sup> dydx<br />
+ʃʃ (1 + x<sup>3</sup>)<sup>1 / 5</sup> dy dx<br />
 T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)<sup>2</sup>]<br />
 Innen ez is simán kiintegrálható.<br />
@@ 490. sor: / 490. sor: @@
 === Komplex számok ===
 z = x + i * y // itt x a valós rész, y a képzetes, i = sqrt(-1)<br />
-f komplex differenciálható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '<sub>xx</sub> + u ' '<sub>yy</sub> = 0<br />
+f komplex differenciálható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> Δ u = u ' '<sub>xx</sub> + u ' '<sub>yy</sub> = 0<br />
 <br />
 '''Azonosságok:'''<br />
@@ 499. sor: / 499. sor: @@
 |z|<sup>2</sup> = z * /z<br />
 |z| = |/z|<br />
-arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezárt szög, trigonometrikusnál fi<br />
+arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezárt szög, trigonometrikusnál φ<br />
 /(z1 + z2) = /z1 + /z2<br />
 <br />
 '''Trigonometrikus alak:'''<br />
-z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezárt szög<br />
+z = r * ( cos(φ) + i * sin(φ) ) // itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög<br />
 r = |z|<br />
-fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi]<br />
+φ = arg(z) // φ: [-π ; π]<br />
 <br />
 '''Exponenciális alak:'''<br />
-z = r * e<sup>fi * i</sup> // úgy lehet megjegyezni, hogy Réffy J. (már akit tanított)<br />
+z = r * e<sup>φ * i</sup> // úgy lehet megjegyezni, hogy Réffy J. (már akit tanított)<br />
 <br />
 '''Komplex szorzás:'''<br />
-z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e<sup>(fi + b) * i</sup><br />
+z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(φ + b) + i * sin(φ + b) ) = r1 * r2 * e<sup>(φ + b) * i</sup><br />
 <br />
 '''Osztás:'''<br />
-z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e<sup>(fi - b) * i</sup><br />
+z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(φ - b) + i * sin(φ - b) ) = r1 / r2 * e<sup>(φ - b) * i</sup><br />
 <br />
 '''Hatványozás:'''<br />
-z<sup>n</sup> = r<sup>n</sup> * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) )<br />
+z<sup>n</sup> = r<sup>n</sup> * ( cos(φ * n) + i * sin(φ * n) )<br />
 <br />
 '''Gyökvonás:'''<br />
-z<sup>1 / n</sup> = r<sup>1 / n</sup> * e<sup>( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i</sup> = r<sup>1 / n</sup> * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) )<br />
+z<sup>1 / n</sup> = r<sup>1 / n</sup> * e<sup>( (φ + 2 * k * π) / n ) * i</sup> = r<sup>1 / n</sup> * ( cos( (φ + 2 * k * π) / n ) + i * sin( (φ + 2 * k * π) / n ) )<br />
 <br />
 '''Euler-formula:'''<br />
-e<sup>i * fi</sup> = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nézz feladatot!<br />
+e<sup>i * φ</sup> = cos(φ) + i * sin(φ) // erre nézz feladatot!<br />
 <br />
@@ 536. sor: / 536. sor: @@
 u<sup>(2)</sup>yx = -v<sup>(2)</sup>xx<br />
 Young tétel: ha egy pont környékén a >= 2 fokú parciális deriváltak léteznek és folytonosak, akkor függetlenek a deriválás sorrendjétől. Tehát xy és yx ugyanaz lesz.<br />
-deltau = u<sup>(2)</sup>xx + u<sup>(2)</sup>yy<br />
+Δu = u<sup>(2)</sup>xx + u<sup>(2)</sup>yy<br />
 '''Lokális szélsőértékek:'''<br />
 van, ha f'x = f'y = 0, és // szükséges feltétel<br />