„Számítógépes grafika és képfeldolgozás - Vizsga, 2015.01.12.” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
aNincs szerkesztési összefoglaló
 
(6 közbenső módosítás, amit 2 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
Amennyiben ki tudjátok egészíteni, vagy hibás számolást találtok nyugodtan változtassátok a cikket.
== 1.Feladat ==
== 1.Feladat ==
=== 1.rész ===
=== 1.rész ===
; Feladat
; Feladat
Van egy madarunk, ami az origóból (<math>p_0=\underline{0}</math>) <math>v</math> sebességgel indul <math>t=0</math> időpontban. <math>t=1</math> időpontban <math>p</math> pozícióba kerül. Adja meg az idő-parametrizáltan, milyen pozícióban, milyen sebességgel repült.
Adott egy merevtestű madár, amely <math>t=0</math> időpontban az origón megy keresztül <math>\vec{v}</math> sebességgel, <math>t=1</math> időpontban már a <math>\vec{p}</math> pontban található. Pályájának Descartes koordinátái az idő '''polinomfüggvényei'''. Adjon meg egy, a feltételeknek eleget tevő pályát, azaz határozza meg, hol van a madár egy tetszőleges <math>t</math> időpontban és mi a pillanatnyi sebessége. (8 pont)
 
Mi a madár modellezési transzformációja ebben a pillanatban, amely referencia helyzetből ide transzformálja? Feltételezve, hogy a referencia helyzetben a madár súlypontja origóban van, csőre +y, farka -y, háta +z, hasa -z irányba néz, szárnyait az x tengellyel párhuzamosan feszíti ki. (12 pont)
 
; Megjegyzés
; Megjegyzés
Sajnos a feladatból (számomra) hiányzott egy paraméter (<math>v</math> értéke <math>t=1</math> időpontban, vagy, hogy állandó-e a gyorsulás). Amennyiben valaki tud egy jobb, egyértelműbb megoldást, kérem, hogy ossza meg ebben a cikkben.
Sajnos a feladatból (számomra) hiányzott egy paraméter (<math>v</math> értéke <math>t=1</math> időpontban, vagy, hogy állandó-e a gyorsulás). Amennyiben valaki tud egy jobb, egyértelműbb megoldást, kérem, hogy ossza meg ebben a cikkben.
43. sor: 47. sor:
<math>z_m = y_m \times x_m</math>
<math>z_m = y_m \times x_m</math>


Ebbe a három vektorba kell forgatni a madarat. Az első cél, hogy az x tengely megfeleljen (két forgatás - z és y), utána az y tengelyt feleltetjük meg (1 forgatás - x)
Ebbe a három vektorba kell forgatni a madarat. Az első cél, hogy az <math>x</math> tengelyt befordítsuk a <math>x_m</math> helyére ( 2 forgatás - <math>\varphi_z</math> és <math>\varphi_y</math>), utána az <math>y</math> tengelyt kell beforgatnunk a <math>y_m</math> helyére ( 1 forgatás - <math>\varphi_x</math> ). Belátható, hogy e két vektorral a <math>z</math> tengely is a helyére kerül
* A <math>\varphi_z</math>-t hamar kinyerhetjük a <math>x_m</math> x értékéből
* A <math>\varphi_z</math>-t hamar kinyerhetjük a <math>x_m</math>-ben található <math>y</math> értékből:
<math>\varphi_z'=\sin^{-1}\left(
<math>\varphi_z'=\sin^{-1}\left(
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
54. sor: 58. sor:
\begin{cases}
\begin{cases}
x>0 &= \varphi_z' \\
x>0 &= \varphi_z' \\
x \le 0 &= 180-\varphi_z'
x \le 0 &= \pi-\varphi_z'
\end{cases}
\end{cases}
</math>
</math>


* Forgassuk be az <math>x</math> tengelyt a helyére <math>y</math>-ból való forgatással. Az ehhez tartozó szög:
* A forgatott <math>x'</math> tengely és az <math>x_m</math> által bezárt szög fogja alkotni a <math>\varphi_y</math>-t:
<math>\varphi_y'=\cos^{-1}\left({x_m' \over |x_m'|} \cdot {x_m \over |x_m|}\right)</math>
<math>x'=
\begin{bmatrix}
\cos\varphi_z & -\sin\varphi_z & 0 \\
\sin\varphi_z & \cos\varphi_z & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\varphi_z \\
\sin\varphi_z \\
0
\end{bmatrix}
</math>
 
<math>\varphi_y'=\cos^{-1}\left({x' \over |x'|} \cdot {x_m \over |x_m|}\right)</math>


<math>\varphi_y
<math>\varphi_y
67. sor: 90. sor:
\end{cases}
\end{cases}
</math>
</math>
* Keressük meg az <math>y</math> tengely jelenlegi helyét:
* Hasonlóan az előzőekhez az <math>y'</math> tengelyt ki kell számolni, és az <math>y_m</math>-el bezárt szög lesz a <math>\varphi_x</math>:
<math>y'=
<math>y'=
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
74. sor: 97. sor:
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
87. sor: 109. sor:
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
</math>
</math>
* és számoljuk ki a <math>y'</math> tengely és <math>y_m</math> közötti szöget
 
<math>\varphi_x'=\cos^{-1}\left({y' \over |y'|} \cdot {y_m \over |y_m|}\right)</math>
<math>\varphi_x'=\cos^{-1}\left({y' \over |y'|} \cdot {y_m \over |y_m|}\right)</math>


100. sor: 122. sor:


== 2. feladat ==
== 2. feladat ==
Már nem emlékszem...
Bizonyítsa be, hogy egy invertálható homogén lineáris tanszformáció a projektív síkot projektív síkra, kvadratikus felületet kvadratikus felületre képez le. (10 pont)

A lap jelenlegi, 2015. január 13., 11:32-kori változata

Amennyiben ki tudjátok egészíteni, vagy hibás számolást találtok nyugodtan változtassátok a cikket.

1.Feladat

1.rész

Feladat

Adott egy merevtestű madár, amely Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t=0} időpontban az origón megy keresztül Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vec{v}} sebességgel, Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t=1} időpontban már a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vec{p}} pontban található. Pályájának Descartes koordinátái az idő polinomfüggvényei. Adjon meg egy, a feltételeknek eleget tevő pályát, azaz határozza meg, hol van a madár egy tetszőleges Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t} időpontban és mi a pillanatnyi sebessége. (8 pont)

Mi a madár modellezési transzformációja ebben a pillanatban, amely referencia helyzetből ide transzformálja? Feltételezve, hogy a referencia helyzetben a madár súlypontja origóban van, csőre +y, farka -y, háta +z, hasa -z irányba néz, szárnyait az x tengellyel párhuzamosan feszíti ki. (12 pont)

Megjegyzés

Sajnos a feladatból (számomra) hiányzott egy paraméter (Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v} értéke Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t=1} időpontban, vagy, hogy állandó-e a gyorsulás). Amennyiben valaki tud egy jobb, egyértelműbb megoldást, kérem, hogy ossza meg ebben a cikkben.

Megoldás #1

Feltételezzük, hogy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a(t)} állandó ( csak Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a} -ként hivatkozok rá):

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v(t)=at+v}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle p(t)={a \over 2}t^2 + vt + \underline{0} = {a \over 2}t^2 + vt}

Ebből következően ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t=1} :

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle p={a \over 2} + v}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a=2(p-v)}

Tehát:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v(t)=2(p-v)t+v}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle p(t)=(p-v)t^2+vt}

2. rész

Amennyiben a madár modelje alapesetben csőrével az +y, farkával a -y, hátával a +z és hasával a -z valamint a szárnyai az x tengelyek felé néz, milyen transzformációkat kell elvégeznünk, hogy megfelelő irányban és pozícióban legyen minden időpillanatban úgy, hogy forduláskor bedől (Frenet keret)

Megjegyzés

Valószínűleg hibás (sorry). Érdemes átnézni a jegyzeteket (bmeanimr.ppt ~17. dia) és leellenőrizni. Ebből próbáltam én is összerakni. Amennyiben mégis helyes, akkor kéretik törölni ezt a két sort :)

(A Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle {x \over |x|}} kifejezés egyszerűen csak normalizálást jelent.)

Megoldás

A jegyzetben az alábbi koordinálták vannak:

  • Madár csőre: +z tengely
  • Madár háta: +y tengely
  • Madár szárnyai: x tengely

Ennek köszönhetően fel kell cserélni az egyenletekben a tengelyeket:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y_m = r'(t) = v(t)}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x_m = y_m \times r''(t) = y_m \times a}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z_m = y_m \times x_m}

Ebbe a három vektorba kell forgatni a madarat. Az első cél, hogy az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x} tengelyt befordítsuk a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x_m} helyére ( 2 forgatás - Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_z} és Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_y} ), utána az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y} tengelyt kell beforgatnunk a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y_m} helyére ( 1 forgatás - Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_x} ). Belátható, hogy e két vektorral a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z} tengely is a helyére kerül

  • A Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_z} -t hamar kinyerhetjük a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x_m} -ben található Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y} értékből:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_z'=\sin^{-1}\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \left[{x_m \over |x_m|}\right]\right)}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_z \begin{cases} x>0 &= \varphi_z' \\ x \le 0 &= \pi-\varphi_z' \end{cases} }

  • A forgatott Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x'} tengely és az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x_m} által bezárt szög fogja alkotni a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_y} -t:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x'= \begin{bmatrix} \cos\varphi_z & -\sin\varphi_z & 0 \\ \sin\varphi_z & \cos\varphi_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\varphi_z \\ \sin\varphi_z \\ 0 \end{bmatrix} }

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_y'=\cos^{-1}\left({x' \over |x'|} \cdot {x_m \over |x_m|}\right)}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_y \begin{cases} z>0 &= -\varphi_y' \\ z \le 0 &= \varphi_y' \end{cases} }

  • Hasonlóan az előzőekhez az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y'} tengelyt ki kell számolni, és az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y_m} -el bezárt szög lesz a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_x} :

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y'= \begin{bmatrix} \cos\varphi_z & -\sin\varphi_z & 0 \\ \sin\varphi_z & \cos\varphi_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sin\varphi_z \\ \cos\varphi_z \\ 0 \end{bmatrix} }

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_x'=\cos^{-1}\left({y' \over |y'|} \cdot {y_m \over |y_m|}\right)}

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi_x \begin{cases} z>0 &= \varphi_x' \\ z \le 0 &= -\varphi_x' \end{cases} }

Ezekkel a szögekkelÉrtelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (\varphi_x,\varphi_y,\varphi_z)} kell forgatni a madarat, és el kell mozdítani Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle p(t)} vektorral

2. feladat

Bizonyítsa be, hogy egy invertálható homogén lineáris tanszformáció a projektív síkot projektív síkra, kvadratikus felületet kvadratikus felületre képez le. (10 pont)

A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/index.php?title=Számítógépes_grafika_és_képfeldolgozás_-_Vizsga,_2015.01.12.&oldid=183984”