Jelek és rendszerek - ZH2 2006.04.20.

← Vissza az előző oldalra – Jelek és rendszerek

A csoport

Nagykérdés

Adottak:

$H(e^{j\omega })=?$

$u[0]=2,u[1]=1,u[2]=2,u[3]=0,u[k+4]=u[k]$

(aki tudja, az eredeti feladatban mi szerepelt a kérdőjelek helyén, beírhatná...)

1. Határozza meg az átviteli tényezőket $0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},2\pi$ körfrekvenciákra!
2. Adja meg a gerjesztő jel komplex Fourier-együtthatóját!
3. Adja meg a gerjesztő jel valós Fourier-sorát!
4. Írja föl a rendszer $y[k]$ válaszának időfüggvényét!

Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)

1. Adja meg a $x(t)=5\sin(\omega t-{\frac {\pi }{4}})$ jel komplex amplitúdóját!

   Megoldás:
   ${\overline {X}}=3\cdot e^{-j{\frac {\pi }{?2?}}}$

   
   

   Megoldás3:
   ${\overline {X}}=5\cdot e^{-j{\frac {3\pi }{4}}}$ , mert: $5sin(\omega t-{\frac {\pi }{4}})=5cos(\omega t-{\frac {3\pi }{4}})\rightarrow 5\cdot e^{-j{\frac {3\pi }{4}}}$
   (-- csé - 2007.05.15.)

   
   
2. Határozza meg a $H(j\omega )={\frac {5}{j\omega +2}}$ átviteli karakterisztikájú rendszer sávszélességét. $\epsilon =1$ ...

   Megoldás:
   $\Delta \omega =2$
   Rendszer sávszélessége alatt az áteresztő tartomány szélességét értjük. Áteresztő tartomány ha |H(j*omega)||>=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) omega eleme [omegaa, omegab] az látszik hogy a fenti átviteli karakterisztikának omega=0-nál van a maximuma ami 2,5. Ezután már csak a tartomány másik végét kell megtalálni. Ehhez a következő egyenlőséget kell megoldani: ||H(j*omega)=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) komplex tört abszolút értéke a számláló abszolút értéke/nevező abszolút értéke. A számlálóé 5. a nevezőé gyök(valósrésznégyzet+képzetesrésznégyzet)=gyök(omeganégyzet+4). tehát: 5/gyök(omeganégyzet+4)=2,5/gyök2 Ebből omegára +/-2 adódik. Tehát a rendszer sávszélessége kettő.
   A megoldás levlistáról By Wittek Ádám (utólagos engedelmeddel az utókornak)-- banti

   
   
3. Adja meg a $x(t)=\epsilon (t+T/2)-\epsilon (t-T/2)$ folytonos idejű, páros jel spektrumának képzetes részét!

   Megoldás:
   $Im\{X(j\omega )\}=0$ , mert az x(t) fv páros, így csak valós összetevője van.

   
   
4. Adja meg a $x(t)=1+5\cos(\omega t-1.73)+2\cos(3\omega t)$ jel teljesítményét!

   Megoldás:
   $P_{x}=15.5$

   
   
5. Az $x(t)$ folytonos idejű jel sávkorlátozott és sávkorlátja $\omega$. Fejezze ki ezt matematikai alakban!

   Megoldás:
   $X(j\omega )=0$, ha $\left|{\omega }\right|>\Omega$

   
   

B csoport

Nagykérdés

Egy FI rendszer impulzusválasza: $h(t)=2\delta (t)+\epsilon (t)(5e^{-2t}-3e^{-4t})$, gerjesztése: $10+5\cos(\omega t-0.8)$, a körfrekvencia: $\omega =3.2$

a. Határozza meg a rendszer átviteli karakterisztikáját, és adja meg normálalakban, rendezett polinomok hányadosaként! (3 pont)

Megoldás:
$H(j\omega )=2+{\frac {5}{j\omega +2}}-{\frac {3}{j\omega +4}}={\frac {2(j\omega )^{2}+14j\omega +30}{(j\omega )^{2}+6j\omega +8}}$

b. Adja meg a gerjesztő jel középértékét és effektív értékét! (2 pont)

Megoldás:
A gerjesztés a 3.1-69 képletnek megfelelően van megadva: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \begin{array}{*{20}c} {x(t) = X_0 + \sum\limits_{p = 1}^\infty {X_p \cos (p\Omega t + \xi _p )} } & , & {\Omega = \frac{{2\pi }}{T}} \\ \end{array} } Teljesítmény a 3.1-73 képlet szerint: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle P_x = X_0^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^\infty {X_p^2 } } Ennek négyzetgyöke lesz az effektív érték: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle U_{eff} = \sqrt {X_0^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^\infty {X_p^2 } } = \sqrt {X_0 ^2 + \frac{1}{2}X_1 ^2 } = \sqrt {10^2 + \frac{1}{2}5^2 } }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle U_0=10}
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle U_eff=\sqrt{100+\frac{25}{2}}=10.607}

c. Határozza meg a rendszer átviteli tényezőjét a megadott Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega} körfrekvencián! (2 pont)

Megoldás:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle H(j3.2)=2.245-j0.758=2.369e^{-j0,326}}

d. Számítsa ki a rendszer Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y(t)} válaszának időfüggvényét! (3 pont)

Megoldás:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle H(0)=3.75}
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y(t)=37.5+11.849\cos(\omega t-1.126)}

Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)

1. Az x[k] DI szinuszos jel komplex amplitúdója Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \overline X = 2e^{^{j\frac{\pi }{3}} }} , körfrekvenciája Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vartheta = \frac{\pi }{2}} . Adja meg az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k]=x[k-1]} jel komplex amplitúdóját!

Megoldás:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \left|{\overline Y}\right|=2 \cdot e^{-j\frac{\pi}{6}}=2 \cdot e^{-j0.524}}

2. Fogalmazza meg matematika alakban a torzításmentes jelátvitel kritériumát a folytonos idejű rendszer gerjesztés-válasz kapcsolatára vonatkozóan, az időtartományban!

Megoldás:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y(t)=K \cdot u(t-T)}

3. Egy FI idejű rendszer átviteli tényezője adott körfrekvencián Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \overline H = 0.73e^{ - j1.05}} . Adja meg a rendszer erősítését ugyanezen a körfrekvencián decibel [dB] egységben!

Megoldás:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 20\lg\left|{\overline H}\right|=-2.73 dB}

4. Legfeljebb hány körfrekvenciájú harmónikus összetevőt tartalmazhat az L=6 periódusú diszkrét idejű jel valós Fourier sora? Sorolja fel ezen összetevők körfrekvenciáit!

Megoldás:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vartheta 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi}

5. Egy folytonos idejű rendszer ugrásválaszának spektruma Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle G(j\omega)} . Írja fel ennek ismeretében a rendszer átviteli karakterisztikáját!

Megoldás:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle H(j\omega)=j\omega\cdot G(j\omega)}