„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés

VizuálisWikiszöveges

@@ 80. sor: / 80. sor: @@
 </div>
 </div>
+==== Folytonos idejű jelek ====
+Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: <math>T \in \mathbb{R}</math>.
+===== Feladatok =====
+Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
+<math>y(t) = 5 \cos(2t) + 3 \sin(4t) + 10</math>
+<div class="mw-collapsible-content">
+Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes ''részeinek'' periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.
+Az <math>y(t)</math> jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:
+* 1. <math>5 \cos(2t)</math>
+* 2. <math>3 \sin(4t)</math>
+* 3. <math>10</math>
+Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:
+* <math>T_1 = \pi</math>
+* <math>T_2 = \frac{\pi}{2}</math>
+Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: <math>T = \pi</math>.
+</div>
+</div>
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
+<math>y(t) = 4 \cos(4t) + 5 \sin(7t)</math>
+<div class="mw-collapsible-content">
+A fentiek alapján periodikus, periódusideje: <math>T = 2\pi</math>.
+* <math>T_1 = \frac{\pi}{2}</math>
+* <math>T_2 = \frac{2\pi}{7}</math>
+</div>
+</div>
+=== Rendszer válaszának kiszámolása lépésenként ===
+==== Diszkrét idejű jelek ====
+Adott a <math>y[k] + 0.8y[k-1] = 3u[k] + 4u[k-1]</math> öszefüggés. Továbbá tudjuk, hogy <math>y[-1] = 5</math>, s <math>u[k] = 2\cdot\epsilon[k]</math>. Számoljuk ki az ''y'' értékeit különböző ''k'' értékekre.
+Az előadásvázlatban van hasonló példa. Az egészet <math>y[k] = ... </math>-ra rendezve kapunk egy egyszerű összefüggést. Mivel tudjuk az <math>y[-1]</math>-et, így az <math>y[0]</math> triviálisan számolható. Ezek után a következő, majd a következő, majd az azt követő ''y'' érték is. Valahogy így:
+{| class="wikitable"
+|-
+! k !! u !! y
+|-
+| -1 || 0 || 5
+|-
+| 0 || 2 || 2
+|-
+| 1 || 2 || 12.4
+|-
+| 2 || 2 || ...
+|}
+<small>A gyakorlaton ezt még felrajzoltuk egy grafikonra. Két dolgot jegyeztünk meg:
+* A diszkrét értékeket nem kötjük össze!
+* A tengelyek legyenek elnevezve!
+</small>
+A fenti módszer hátránya, hogyha szeretném tudni a <math>y[538]</math> értékét, akkor ahhoz ki kell számolni a <math>y[537]</math> értékét, és így tovább összes korábbi értéket is.
+==== Folytonos idejű jelek ====
+Folytonos idejű jelek is lehetnének hasonlóan számolhatóak, de ott a megfelelő lépésköz sokkal nehezebben meghatározható (gondolj a Taylor polinommal való közelítésre).
+== 2. Gyakorlat ==
+Itt nem voltam, sry. Aki akarja, pótolja nyugodtan ide
+== 3. Gyakorlat ==
+=== 1. feladat ===
+Moriczkának 1000 pénze van. ''10%'' éves kamatra beteszi a bankba, ahol azt évente tőkésítik.
+* Mennyi pénze lesz Móriczkának 1-2-3 év múlva? Számold ki kézzel!
+* Rajzolj jelfolyam hálózatot.
+=== 2. feladat ===
+Az előadásjegyzetben pedzegetett hallgatós példa, csak más számokkal. A fent linkelt előadás-jegyzetem legelején megtalálod, nem részletezem itt.
+=== 3. feladat ===
+Adott az alábbi rendszer:
+''<small>(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io -n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqWGNHcDE2MDkzems )</small>''
+[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_gyak_03_3_jel_abra.png]]
+Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát!
+A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.
+==== A, B, C, D mátrixok ====
+<math>\underline{\underline{A}} = \begin{bmatrix}
+& 1 \\
+    -0.05 & -0.6
+\end{bmatrix}</math>
+<math>\underline{B} = \begin{bmatrix}
+-2 \\ 1.5
+\end{bmatrix}</math>
+<math>\underline{C}^T = \begin{bmatrix} 0 & 1\end{bmatrix}</math>
+<math>d = 1</math>
+==== Saját értékek, Lagrange Mátrixok ====
+<math>\lambda_1 = -0.1</math>
+<math>\lambda_2 = -0.5</math>
+<math>\underline{\underline{L_1}} = \begin{bmatrix}
+.25 & 2.5 \\
+-0.125 & -0.25
+\end{bmatrix}</math>
+<math>\underline{\underline{L_2}} = \begin{bmatrix}
+-0.25 & -2.5 \\
+.125 & 1.25
+\end{bmatrix}</math>
+<math>\underline{C}^T \cdot \underline{\underline{L_1}} \cdot \underline{B} = -0.125</math>
+<math>\underline{C}^T \cdot \underline{\underline{L_2}} \cdot \underline{B} = 1.625</math>
+==== Impulzusválasz ====
+<math>h[k] = \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (-0.125 \cdot (-0.1^k) + 1.625 \cdot (-0.5^k))</math>
+== 4. gyakorlat ==
+=== 1. feladat ===
+Lásd az előző gyakorlat 3. feladatát. Adott ugyanez a rendszer, csak folytonos időben. Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát! A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.
+==== Ami ugyanaz ====
+Az ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' mátrixok, a Lagrange mátrixok, az ''A'' mátrix sajátértékei azonosak.
+==== Impulzusválasz ====
+<math>h(t) = \delta(t) + \epsilon(t) \cdot (e^{-0.1\cdot t} \cdot -0.125 + e^{-0.5\cdot t} \cdot 1.625)</math>
+==== Válasz ====
+* Ha a gerjesztés: <math>u(t) = 2 \epsilon(t)</math>
+* <math>y(t) = -0.25 \cdot e^{-0.1\cdot t} (\frac{e^{0.1\cdot t}}{0.1} - \frac{1}{0.1}) + 3.25 \cdot e^{-0.5\cdot t} (\frac{e^{0.5\cdot t}}{0.5} - \frac{1}{0.5})</math>
+* <math>y(t) = \epsilon(t) \cdot (6 + 2.5 \cdot e^{-0.1\cdot t} - 6.5 \cdot e^{-0.5\cdot t})</math>