„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Nagy Vilmos (vitalap | szerkesztései)
→‎Jelek osztályozása: Néhány csoportosítás definiálva.
Nagy Vilmos (vitalap | szerkesztései)
→‎Jelek állapotváltozós leírása: FI jelek állapotváltozós leírása képletek
 
(11 közbenső módosítás ugyanattól a felhasználótól nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.


6. sor: 4. sor:


Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]
Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]
A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!


== Megjegyzések magamnak ==
== Megjegyzések magamnak ==
68. sor: 68. sor:
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k]</math>  
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k]</math>  


=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
81. sor: 81. sor:
* Idő invariáns rendszereket.
* Idő invariáns rendszereket.


A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k] \Rightarrow W$\left\{u[k-L]\right\}$ = y[k-L]</math>.
A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L]</math>.


=== Lineáris rendszerek ===
=== Lineáris rendszerek ===
Igaz az alábbi összefüggés:
Igaz az alábbi összefüggés:


<math>W$\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\}$ = c_a \cdot W$\left\{u_a[k]\right\}$ + c_b \cdot W$\left\{u_b[k]\right\}$</math>
<math>W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}</math>


=== Memória mentes, vagy memóriás ===
=== Memória mentes, vagy memóriás ===
92. sor: 92. sor:


=== Kauzális, vagy akauzális ===
=== Kauzális, vagy akauzális ===
'''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a ''t_1'' ill. ''k_1'' pillanatban  csak a gerjesztés <math>u(t), t<t_1</math> illetve <math>u[k], k<k_1</math> értékétől függ.
'''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a <math>t_1</math> ill. <math>k_1</math> pillanatban  csak a gerjesztés <math>u(t), \quad t<t_1</math> illetve <math>u[k], \quad k<k_1</math> értékétől függ.


=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
156. sor: 156. sor:
DE!
DE!


==== Konvolúció ====
==== LTI rendszer válasza ====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
===== Nevezetes válaszok =====
<br/><small>'''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.</small>
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h[k]</math>
 
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:


<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>
===== Konvolúció =====
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:


Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.
* <math>y[k] = W\left\{u[k]\right\}</math>
* <math>y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot  W\left\{\delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot  h[k-i]</math>


Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
170. sor: 173. sor:
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.
====== Speciális esetek ======
====== Kauzális rendszer, belépő jel esetén ======
Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:
<math>y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot  h[k-i]</math>


=== Folytonos idejű jelek esetén ===
=== Folytonos idejű jelek esetén ===
186. sor: 195. sor:


Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.
Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1</math>
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)</math>
Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:
* <math>\delta(t) = \epsilon'(t)</math>
* <math>\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau</math>
==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h(t)</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
===== Konvolúció =====
Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:
<math>y(t) = \int_{i=-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot  h(t-\tau) d\tau</math>
A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.
== Jelek állapotváltozós leírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Állapotváltozós leírás ====
Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
* <math>\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \cdot u[k]</math>
* <math>\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \cdot u[k]</math>
Ennek így elsőre semmi értelme, de:
* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
* és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.
Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.
Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:
* <math>x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1]</math>
* <math>x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1]</math>
* <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math>
==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
Az így felírt rendszer impulzusválasza:
<math>h[k] = d \cdot \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (\underline{c} \cdot \underline{\underline{A}}^{k-1} \cdot \underline{B})</math>
===== Mátrix egyszerű hatványozása =====
Ebből az <math>\underline{\underline{A}}^{k-1}</math> kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).
Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz):
<math>\sum_{i=0}^{k} {\lambda_{i}}^k \cdot \underline{\underline{L_i}}</math>
Ahol az egyes <math>\underline{\underline{L_i}}</math>-k az ''A'' mátrix Lagrange mátrixai, míg a <math>\lambda_{i}</math>-k az ''A'' mátrix sajátértékei.
A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk:
<math>\det (\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0</math>
Azaz:
<math>((A_{11} - \lambda) \cdot (A_{22} - \lambda)) - (A_{12} \cdot A_{21}) = 0</math>
A Lagrange mátrix pedig általánosságban:
<math>\underline{\underline{L_{i}}} = \prod_{p=1}^{N} \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_p \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_i - \lambda_p}</math>
Konkrétabban:
* <math>\underline{\underline{L_{1}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_2 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_1 - \lambda_2}</math>
* <math>\underline{\underline{L_{2}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_1 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_2 - \lambda_1}</math>
Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}
=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
Az így felírt rendszer impulzusválasza:
<math>h(t) = d \cdot \delta(t) + \epsilon(t) \cdot (\underline{c} \cdot e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} \cdot \underline{B})</math>
<math>e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} = \sum_{i=1}^{N} e^{\lambda_i \cdot t} \cdot \underline{\underline{L_{i}}}</math>

A lap jelenlegi, 2017. szeptember 26., 13:37-kori változata

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)

A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!

Megjegyzések magamnak

Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...

  • az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. Innen a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

Bevezetés

A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:

  • Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
  • Híd deformációja a terhelés függvényében
  • Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
  • stb.

Rendszerek ábrázolása

Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )

Példa

A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x1, x2, x3, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x1 értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):

(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:

  • minden k-ra
  • minden n-re
  • minden n-re

(vegyük észre, hogy nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

Év (k) Elsőévesek Másodévesek Harmadévesek Végzők
1 500 0 0 0
2 650 325 0 0
3 695 520 211 0
4 709 608 401 137
5 713 643 515 260
5 714 656 572 335

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

Jelek osztályozása

Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
(én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)

  • a k időbeli gerjesztés
  • a k időbeli válasza a rendszernek
  • A teljes rendszert pedig a W-vel jelöljük, így:

Gerjesztések, Válaszok száma

A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (m, mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó.
A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az u, y, etc. vektorokként értelmezendők

Idő variancia

A W operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

  • Idő variáns rendszereket
  • Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy .

Lineáris rendszerek

Igaz az alábbi összefüggés:

Memória mentes, vagy memóriás

Def: Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a t ill. k pillanatban csak a gerjesztés illetve értékétől függ.

Kauzális, vagy akauzális

Def: Egy rendszer kauzális, ha a válasza a ill. pillanatban csak a gerjesztés illetve értékétől függ.

Folytonos / Diszkrét idejű jelek

Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.

  • Folytonos idejű, jelölése
    A folytonos idejű jelek minden értékben értelmezettek.
  • Diszkrét idejű, jelölése
    A diszkrét idejű jelek csak a egész számok helyén értelmezettek.

Periodicitás

Folytonos időben

Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik periódusidő, hogy minden t-re.

Diszkrét időben

Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik periódusidő, hogy minden k-ra.

Egyéb osztályozás

Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.

  • Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (megjósolható, nem véletlenszerű)
    ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
  • Belépő: minden esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:

  • páros: (az y tengelyre szimmetrikus)
  • páratlan: (az origóra szimmetrikus)

Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Jelek felírása

Diszkrét idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységimpulzus

Egységugrás

Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Példa 1

Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: (szerk.: ezt ellenőrizd le!)

Példa 2

Vegyük a következő jelet:

.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

.

Itt ugye a csak a esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

DE!

LTI rendszer válasza

Nevezetes válaszok
  • Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele:
  • Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Konvolúció

Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

  • mivel ez lineáris rendszer, így:
  • mivel ez idő invariáns rendszer, így:

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:

  • egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
  • lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
  • számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.
Speciális esetek
Kauzális rendszer, belépő jel esetén

Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:

Folytonos idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységugrás

Megjegyzés: Az -t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

Egységimpulzus

Írjuk fel az függvényt a következőképpen:

Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet.

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az -ben a T tart nullához.

Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:

Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:

LTI rendszer válasza

Nevezetes válaszok
  • Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele:
  • Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Konvolúció

Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:

A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.

Jelek állapotváltozós leírása

Diszkrét idejű jelek esetén

Állapotváltozós leírás

Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:

Ennek így elsőre semmi értelme, de:

  • ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
  • ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
  • és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.

Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.

Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:

Impulzusválasz állapotváltozós leírásból

Az így felírt rendszer impulzusválasza:

Mátrix egyszerű hatványozása

Ebből az kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).

Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz):

Ahol az egyes -k az A mátrix Lagrange mátrixai, míg a -k az A mátrix sajátértékei.

A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk:

Azaz:

A Lagrange mátrix pedig általánosságban: Konkrétabban:

Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}

Folytonos idejű jelek esetén

Impulzusválasz állapotváltozós leírásból

Az így felírt rendszer impulzusválasza: