Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)

1. Gyakorlat

Periodicitás vizsgálata

Diszkrét idejű jelek

Adott $y[k]=\cos(\varphi k)$. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:

• $\cos(\varphi k)=\cos(\varphi \cdot (k+L))$
• $\varphi k+2n\pi =\varphi (k+L)$
• $2n\pi =\varphi L$
• $L={\frac {2n\pi }{\varphi }}$

Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:

• Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
• Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
• Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a $2n\pi =\varphi L$ összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

$y[k]=\cos(3k)$

Nem.

• $2n\pi =\varphi L$
• $\varphi =3$
• $2n\pi =3L$
• $L={\frac {2n\pi }{3}}$

Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k $\pi$ racionális többszöröse.

$y[k]=\cos(k{\frac {\pi }{17}}+{\frac {\pi }{3}})$

Igen.

• $y[k]=\cos(k{\frac {\pi }{17}}+{\frac {\pi }{3}})$
• $2n\pi =\varphi L$
• $\varphi ={\frac {\pi }{17}}$
• $2n\pi ={\frac {\pi }{17}}L$
• $2={\frac {L}{17}}$
• $L=2\cdot 17=34$

$y[k]=\cos(k{\frac {2}{5}}+{\frac {\pi }{2}})$

Nem.

$y[k]=\cos(k{\frac {3\pi }{19}}+{\frac {\pi }{2}})$

Igen. $L=38$

$y[k]=\sin(k{\frac {5}{13}}+{\frac {\pi }{4}})$

Nem.

$y[k]=\sin(k{\frac {5\pi }{13}}+{\frac {\pi }{4}})$

Igen. $L=26$

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: $T\in \mathbb {R}$.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

$y(t)=5\cos(2t)+3\sin(4t)+10$

Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes részeinek periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.

Az $y(t)$ jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:

• 1. $5\cos(2t)$
• 2. $3\sin(4t)$
• 3. $10$

Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:

• $T_{1}=\pi$
• $T_{2}={\frac {\pi }{2}}$

Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: $T=\pi$.

$y(t)=4\cos(4t)+5\sin(7t)$

A fentiek alapján periodikus, periódusideje: $T=2\pi$.

• $T_{1}={\frac {\pi }{2}}$
• $T_{2}={\frac {2\pi }{7}}$

Rendszer válaszának kiszámolása lépésenként

Diszkrét idejű jelek

Adott a $y[k]+0.8y[k-1]=3u[k]+4u[k-1]$ öszefüggés. Továbbá tudjuk, hogy $y[-1]=5$, s $u[k]=2\cdot \epsilon [k]$. Számoljuk ki az y értékeit különböző k értékekre.

Az előadásvázlatban van hasonló példa. Az egészet $y[k]=...$-ra rendezve kapunk egy egyszerű összefüggést. Mivel tudjuk az $y[-1]$-et, így az $y[0]$ triviálisan számolható. Ezek után a következő, majd a következő, majd az azt követő y érték is. Valahogy így:

k	u	y
-1	0	5
0	2	2
1	2	12.4
2	2	...

A gyakorlaton ezt még felrajzoltuk egy grafikonra. Két dolgot jegyeztünk meg:

• A diszkrét értékeket nem kötjük össze!
• A tengelyek legyenek elnevezve!

A fenti módszer hátránya, hogyha szeretném tudni a $y[538]$ értékét, akkor ahhoz ki kell számolni a $y[537]$ értékét, és így tovább összes korábbi értéket is.

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek is lehetnének hasonlóan számolhatóak, de ott a megfelelő lépésköz sokkal nehezebben meghatározható (gondolj a Taylor polinommal való közelítésre).