„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés
a (LaTeX képletek javítva, több egysoros - a többsoros LaTeX képletek nem lettek renderelve.) |
(→Periodicitás vizsgálata: FI feladatok hozzáadva) |
||
78. sor: | 78. sor: | ||
<div class="mw-collapsible-content"> | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
Igen. <math>L = 26</math> | Igen. <math>L = 26</math> | ||
+ | </div> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | ==== Folytonos idejű jelek ==== | ||
+ | Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: <math>T \in \mathbb{R}</math>. | ||
+ | |||
+ | ===== Feladatok ===== | ||
+ | Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje? | ||
+ | |||
+ | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
+ | <math>y(t) = 5 \cos(2t) + 3 \sin(4t) + 10</math> | ||
+ | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes ''részeinek'' periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje. | ||
+ | |||
+ | Az <math>y(t)</math> jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön: | ||
+ | * 1. <math>5 \cos(2t)</math> | ||
+ | * 2. <math>3 \sin(4t)</math> | ||
+ | * 3. <math>10</math> | ||
+ | |||
+ | Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük: | ||
+ | * <math>T_1 = \pi</math> | ||
+ | * <math>T_2 = \frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: <math>T = \pi</math>. | ||
+ | </div> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
+ | <math>y(t) = 4 \cos(4t) + 5 \sin(7t)</math> | ||
+ | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | A fentiek alapján periodikus, periódusideje: <math>T = 2\pi</math>. | ||
</div> | </div> | ||
</div> | </div> |
A lap 2017. szeptember 5., 08:43-kori változata
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)
Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)
Tartalomjegyzék
1. Gyakorlat
Periodicitás vizsgálata
Diszkrét idejű jelek
Adott [math]y[k] = \cos(\varphi k)[/math]. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?
Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:
- [math]\cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L))[/math]
- [math]\varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L)[/math]
- [math]2n\pi = \varphi L[/math]
- [math]L = \frac{2n\pi}{\varphi}[/math]
Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:
- Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
- Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
- Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.
Általánosságban a [math]2n\pi = \varphi L[/math] összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.
Feladatok
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?
[math]y[k] = \cos(3k)[/math]
Nem.
- [math]2n\pi = \varphi L[/math]
- [math]\varphi = 3[/math]
- [math]2n\pi = 3L[/math]
- [math]L = \frac{2n\pi}{3}[/math]
Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.
Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k [math]\pi[/math] racionális többszöröse.
[math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]
Igen.
- [math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]
- [math]2n\pi = \varphi L[/math]
- [math]\varphi = \frac{\pi}{17}[/math]
- [math]2n\pi = \frac{\pi}{17}L[/math]
- [math]2 = \frac{L}{17}[/math]
- [math]L = 2 \cdot 17 = 34[/math]
[math]y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})[/math]
Nem.
[math]y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})[/math]
Igen. [math]L = 38[/math]
[math]y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]
Nem.
[math]y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]
Igen. [math]L = 26[/math]
Folytonos idejű jelek
Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: [math]T \in \mathbb{R}[/math].
Feladatok
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?
[math]y(t) = 5 \cos(2t) + 3 \sin(4t) + 10[/math]
Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes részeinek periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.
Az [math]y(t)[/math] jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:
- 1. [math]5 \cos(2t)[/math]
- 2. [math]3 \sin(4t)[/math]
- 3. [math]10[/math]
Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:
- [math]T_1 = \pi[/math]
- [math]T_2 = \frac{\pi}{2}[/math]
Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: [math]T = \pi[/math].
[math]y(t) = 4 \cos(4t) + 5 \sin(7t)[/math]
A fentiek alapján periodikus, periódusideje: [math]T = 2\pi[/math].