Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)

1. Gyakorlat

Periodicitás vizsgálata

Diszkrét idejű jelek

Adott $y[k]=\cos(\varphi k)$. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:

• $\cos(\varphi k)=\cos(\varphi \cdot (k+L))$
• $\varphi k+2n\pi =\varphi (k+L)$
• $2n\pi =\varphi L$
• $L={\frac {2n\pi }{\varphi }}$

Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:

• Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
• Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
• Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a $2n\pi =\varphi L$ összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

$y[k]=\cos(3k)$

Nem.

• $2n\pi =\varphi L$
• $\varphi =3$
• $2n\pi =3L$
• $L={\frac {2n\pi }{3}}$

Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k $\pi$ racionális többszöröse.

$y[k]=\cos(k{\frac {\pi }{17}}+{\frac {\pi }{3}})$

Igen.

• $y[k]=\cos(k{\frac {\pi }{17}}+{\frac {\pi }{3}})$
• $2n\pi =\varphi L$
• $\varphi ={\frac {\pi }{17}}$
• $2n\pi ={\frac {\pi }{17}}L$
• $2={\frac {L}{17}}$
• $L=2\cdot 17=34$

$y[k]=\cos(k{\frac {2}{5}}+{\frac {\pi }{2}})$

Nem.

$y[k]=\cos(k{\frac {3\pi }{19}}+{\frac {\pi }{2}})$

Igen. $L=38$

$y[k]=\sin(k{\frac {5}{13}}+{\frac {\pi }{4}})$

Nem.

$y[k]=\sin(k{\frac {5\pi }{13}}+{\frac {\pi }{4}})$

Igen. $L=26$