„Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria” változatai közötti eltérés
a (→Euklideszi transzformáció: hopphopp) |
|||
(5 közbenső módosítás, amit 2 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
2. sor: | 2. sor: | ||
== Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét! == | == Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét! == | ||
Lineáris egyenletrendszer: | Lineáris egyenletrendszer: <math>\underline{\underline{A}} \cdot \underline{x} = \underline{b}</math>, ahol <math>\underline{\underline{A}} \in \mathbb{R}^{m \times n} ; \underline{x} \in \mathbb{R}^n ; \underline{b} \in \mathbb{R}^m</math> | ||
<math>\underline{\underline{A}} \ | <math>\underline{\underline{A}}</math> az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk. | ||
Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja: <math>\underline{a_1} x_1 + \underline{a_2} x_2 + ... + \underline{a_n} x_n = \underline{b}</math> | |||
=== Megoldhatóság === | |||
A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha <math> \underline{b} </math> előáll az <math> \underline{\underline{A}} </math> mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz benne van <math> \underline{\underline{A}} </math> oszlopterében. A lineáris egyenletrendszer minden <math> \underline{b} \in \mathbb{R}^m </math> vektorra megoldható, ha <math> \mathcal{O}(\underline{\underline{A}}) = \mathbb{R}^m </math>. | |||
<math>\underline{\underline{A}}</math> | === LS módszer === | ||
Általában a paraméterek számánál több mérési eredmény áll rendelkezésünkre, de a mérési pontatlanságok és zajok miatt az egyenletrendszer nagyon kis valószínűséggel oldható meg. A megoldás legjobb közelítése az LS (Least Squares) módszerrel kapható meg. | |||
Mivel az oszloptér és transzponált nulltér egymás merőleges kiegészítő alterei, bármely <math> \underline{b} \in \mathbb{R}^m </math> vektor előáll | |||
<math> \underline{b} = \underline{\sigma} + \underline{n}, \ \ \underline{o} \in \mathcal{O} (\underline{\underline{A}}), \ \ \underline{n} \in \mathcal{N}(\underline{\underline{A}}^T)</math> | |||
formában. Ekkor | |||
<math> | |||
\underline{\underline{A}} \ \underline{x} = \underline{\sigma} | |||
</math> | |||
<math> | |||
\underline{\underline{A}}^T \ \underline{b} = \underline{\underline{A}}^T \ \underline{\sigma} + \underline{\underline{A}}^T \ \underline{n} = \underline{\underline{A}}^T \underline{\sigma} = \underline{\underline{A}}^T ( \underline{\underline{A}} \ \underline{x} ) | |||
</math> | |||
<math> | |||
\underline{\hat{x}} = (\underline{\underline{A}}^T \ \underline{\underline{A}})^{-1} \ \underline{\underline{A}}^T \ \underline{b} | |||
</math> | |||
<math> \underline{\hat{x}} </math> a megoldás legjobb közelítése (optimális megoldás, LS becslő). | |||
== Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt? == | == Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt? == | ||
Az SVD (szinguláris érték) felbontás bázistranszformáció, arra használjuk, hogy a mátrixainkat olyan ortonormált bázisban írhassuk fel, ahol diagonálisak. A diagonális mátrixokat azért szeretjük, mert ''irányfüggő erősítéseket'' jellemeznek (legnagyobb, legkisebb -> rendszerek stabilitása). | |||
<math>A=U \Sigma V^T</math>, | |||
ahol <math>U \in \mathbb{R}^{m \times m}; \Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}; V \in \mathbb{R}^{n \times n}</math>. | |||
U és V bázistranszformációs mátrixok, ortogonálisak (ezért ortonormált bázisokra visznek). | |||
<math>\Sigma</math> a szinguláris értékekből (<math>\sigma_1, \sigma_2 ... \sigma_m</math>) képzett diagonális mátrix. Konvencionálisan a szinguláris értékek csökkenő sorrendben szerepelnek. | |||
[TODO: érték? vektor?] | |||
== Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok? == | == Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok? == | ||
122. sor: | 157. sor: | ||
== Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont? == | == Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont? == | ||
Pontok leírása a projektív síkon | |||
Euklideszi koordináták → Projektív: | |||
<math>(x, y) \rightarrow (x, y, 1)</math> | |||
Tulajdonságok: | |||
<math>( X ,Y ,W ) = (kX , kY , kW )</math> | |||
<math>k \neq 0 \rightarrow \not\exists (0,0,0)</math> | |||
Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak <math>\mathbb{R}^3</math>-ban. '''A homogén koordináták skála invariánsak.''' | |||
=== Ideális pont === | |||
Homogén koordináták → Euklideszi: | |||
<math>(X, Y, W) \rightarrow (X/W, Y/W)</math> | |||
Az ideális pont <math>(X, Y, 0)</math> alakú. ''Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.'' | |||
Az ideális pont egyfajta ''irányított végtelen'', melynek '''minden koordinátája véges'''. | |||
== Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont? == | == Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont? == | ||
A lap jelenlegi, 2015. április 15., 22:11-kori változata
Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!
Lineáris egyenletrendszer: , ahol
az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.
Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja:
Megoldhatóság
A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha előáll az mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz benne van oszlopterében. A lineáris egyenletrendszer minden vektorra megoldható, ha .
LS módszer
Általában a paraméterek számánál több mérési eredmény áll rendelkezésünkre, de a mérési pontatlanságok és zajok miatt az egyenletrendszer nagyon kis valószínűséggel oldható meg. A megoldás legjobb közelítése az LS (Least Squares) módszerrel kapható meg.
Mivel az oszloptér és transzponált nulltér egymás merőleges kiegészítő alterei, bármely vektor előáll
formában. Ekkor
a megoldás legjobb közelítése (optimális megoldás, LS becslő).
Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?
Az SVD (szinguláris érték) felbontás bázistranszformáció, arra használjuk, hogy a mátrixainkat olyan ortonormált bázisban írhassuk fel, ahol diagonálisak. A diagonális mátrixokat azért szeretjük, mert irányfüggő erősítéseket jellemeznek (legnagyobb, legkisebb -> rendszerek stabilitása).
,
ahol .
U és V bázistranszformációs mátrixok, ortogonálisak (ezért ortonormált bázisokra visznek).
a szinguláris értékekből () képzett diagonális mátrix. Konvencionálisan a szinguláris értékek csökkenő sorrendben szerepelnek.
[TODO: érték? vektor?]
Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?
Projektív transzformáció
Affin transzformáció
Megőrzi az ideális pontokat.
Hasonlósági transzformáció
- Nincs irányfüggő skálázás
- Nincs nyírás
Euklideszi transzformáció
Nincs skálázás
Transzformációk és megőrzött tulajdonságok
Geometriák: | Euklideszi | Hasonlósági | Affin | Projektív |
Transzformációk | ||||
Eltolás | I | I | I | I |
Forgatás | I | I | I | I |
Uniform skálázás | X | I | I | I |
Nem uniform skálázás | X | X | I | I |
Nyírás | X | X | I | I |
Perspektív vetítés | X | X | X | I |
Invariáns jellemzők | ||||
Hossz | I | X | X | X |
Szög | I | I | X | X |
Hosszak aránya | I | I | X | X |
Párhuzamosság | I | I | I | X |
Egybeesés | I | I | I | I |
Keresztarány | I | I | I | I |
Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?
Pontok leírása a projektív síkon
Euklideszi koordináták → Projektív:
Tulajdonságok:
Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak -ban. A homogén koordináták skála invariánsak.
Ideális pont
Homogén koordináták → Euklideszi:
Az ideális pont alakú. Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.
Az ideális pont egyfajta irányított végtelen, melynek minden koordinátája véges.
Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?
Vetítés a projektív térből a projektív síkra:
Egyenlet
Eltűnő pont
Párhuzamos -beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.
A -beli ideális pont képe -ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!
- Csak, ha (X,Y,Z) merőleges -ra
- Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!