„Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria” változatai közötti eltérés
124. sor: | 124. sor: | ||
Pontok leírása a projektív síkon | Pontok leírása a projektív síkon | ||
Euklideszi → Projektív: | Euklideszi koordináták → Projektív: | ||
<math>(x, y) \rightarrow (x, y, 1)</math> | <math>(x, y) \rightarrow (x, y, 1)</math> | ||
131. sor: | 131. sor: | ||
<math>( X ,Y ,W ) = (kX , kY , kW )</math> | <math>( X ,Y ,W ) = (kX , kY , kW )</math> | ||
<math>k \neq 0 \rightarrow (0,0,0) | <math>k \neq 0 \rightarrow \not\exists (0,0,0)</math> | ||
Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak <math>\mathbb{R}^3</math>-ban. | Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak <math>\mathbb{R}^3</math>-ban. '''A homogén koordináták skála invariánsak.''' | ||
=== Ideális pont === | |||
Homogén koordináták → Euklideszi: | |||
<math>(X, Y, W) \rightarrow (X/W, Y/W)</math> | |||
Az ideális pont <math>(X, Y, 0)</math> alakú. ''Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.'' | |||
Az ideális pont egyfajta ''irányított végtelen'', melynek '''minden koordinátája véges'''. | |||
== Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont? == | == Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont? == |
A lap 2015. április 15., 18:41-kori változata
Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!
Lineáris egyenletrendszer:
, ahol
az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.
Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja:
[TODO]
Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?
Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?
Projektív transzformáció
Affin transzformáció
Megőrzi az ideális pontokat.
Hasonlósági transzformáció
- Nincs irányfüggő skálázás
- Nincs nyírás
Euklideszi transzformáció
Nincs skálázás
Transzformációk és megőrzött tulajdonságok
Geometriák: | Euklideszi | Hasonlósági | Affin | Projektív |
Transzformációk | ||||
Eltolás | I | I | I | I |
Forgatás | I | I | I | I |
Uniform skálázás | X | I | I | I |
Nem uniform skálázás | X | X | I | I |
Nyírás | X | X | I | I |
Perspektív vetítés | X | X | X | I |
Invariáns jellemzők | ||||
Hossz | I | X | X | X |
Szög | I | I | X | X |
Hosszak aránya | I | I | X | X |
Párhuzamosság | I | I | I | X |
Egybeesés | I | I | I | I |
Keresztarány | I | I | I | I |
Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?
Pontok leírása a projektív síkon
Euklideszi koordináták → Projektív:
Tulajdonságok:
Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak -ban. A homogén koordináták skála invariánsak.
Ideális pont
Homogén koordináták → Euklideszi:
Az ideális pont alakú. Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.
Az ideális pont egyfajta irányított végtelen, melynek minden koordinátája véges.
Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?
Vetítés a projektív térből a projektív síkra:
Egyenlet
Eltűnő pont
Párhuzamos -beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.
A -beli ideális pont képe -ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!
- Csak, ha (X,Y,Z) merőleges -ra
- Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!