Jelek és rendszerek - ZH2 2006.04.20.

← Vissza az előző oldalra – Jelek és rendszerek

A csoport

Nagykérdés

Adottak:

$H(e^{j\omega })=?$

$u[0]=2,u[1]=1,u[2]=2,u[3]=0,u[k+4]=u[k]$

(aki tudja, az eredeti feladatban mi szerepelt a kérdőjelek helyén, beírhatná...)

1. Határozza meg az átviteli tényezőket $0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},2\pi$ körfrekvenciákra!
2. Adja meg a gerjesztő jel komplex Fourier-együtthatóját!
3. Adja meg a gerjesztő jel valós Fourier-sorát!
4. Írja föl a rendszer $y[k]$ válaszának időfüggvényét!

Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)

1. Adja meg a $x(t)=5\sin(\omega t-{\frac {\pi }{4}})$ jel komplex amplitúdóját!

   Megoldás:
   ${\overline {X}}=3\cdot e^{-j{\frac {\pi }{?2?}}}$

   
   

   Megoldás3:
   ${\overline {X}}=5\cdot e^{-j{\frac {3\pi }{4}}}$ , mert: $5sin(\omega t-{\frac {\pi }{4}})=5cos(\omega t-{\frac {3\pi }{4}})\rightarrow 5\cdot e^{-j{\frac {3\pi }{4}}}$
   (-- csé - 2007.05.15.)

   
   
2. Határozza meg a $H(j\omega )={\frac {5}{j\omega +2}}$ átviteli karakterisztikájú rendszer sávszélességét. $\epsilon =1$ ...

   Megoldás:
   $\Delta \omega =2$
   Rendszer sávszélessége alatt az áteresztő tartomány szélességét értjük. Áteresztő tartomány ha |H(j*omega)||>=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) omega eleme [omegaa, omegab] az látszik hogy a fenti átviteli karakterisztikának omega=0-nál van a maximuma ami 2,5. Ezután már csak a tartomány másik végét kell megtalálni. Ehhez a következő egyenlőséget kell megoldani: ||H(j*omega)=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) komplex tört abszolút értéke a számláló abszolút értéke/nevező abszolút értéke. A számlálóé 5. a nevezőé gyök(valósrésznégyzet+képzetesrésznégyzet)=gyök(omeganégyzet+4). tehát: 5/gyök(omeganégyzet+4)=2,5/gyök2 Ebből omegára +/-2 adódik. Tehát a rendszer sávszélessége kettő.
   A megoldás levlistáról By Wittek Ádám (utólagos engedelmeddel az utókornak)-- banti

   
   
3. Adja meg a $x(t)=\epsilon (t+T/2)-\epsilon (t-T/2)$ folytonos idejű, páros jel spektrumának képzetes részét!

   Megoldás:
   $Im\{X(j\omega )\}=0$ , mert az x(t) fv páros, így csak valós összetevője van.

   
   
4. Adja meg a $x(t)=1+5\cos(\omega t-1.73)+2\cos(3\omega t)$ jel teljesítményét!

   Megoldás:
   $P_{x}=15.5$

   
   
5. Az $x(t)$ folytonos idejű jel sávkorlátozott és sávkorlátja $\omega$. Fejezze ki ezt matematikai alakban!

   Megoldás:
   $X(j\omega )=0$, ha $\left|{\omega }\right|>\Omega$

   
   

B csoport

Nagykérdés

Egy FI rendszer impulzusválasza: $h(t)=2\delta (t)+\epsilon (t)(5e^{-2t}-3e^{-4t})$, gerjesztése: $10+5\cos(\omega t-0.8)$, a körfrekvencia: $\omega =3.2$

a. Határozza meg a rendszer átviteli karakterisztikáját, és adja meg normálalakban, rendezett polinomok hányadosaként! (3 pont)

Megoldás:
$H(j\omega )=2+{\frac {5}{j\omega +2}}-{\frac {3}{j\omega +4}}={\frac {2(j\omega )^{2}+14j\omega +30}{(j\omega )^{2}+6j\omega +8}}$

b. Adja meg a gerjesztő jel középértékét és effektív értékét! (2 pont)

Megoldás:
A gerjesztés a 3.1-69 képletnek megfelelően van megadva: ${\begin{array}{*{20}c}{x(t)=X_{0}+\sum \limits _{p=1}^{\infty }{X_{p}\cos(p\Omega t+\xi _{p})}}&,&{\Omega ={\frac {2\pi }{T}}}\\\end{array}}$ Teljesítmény a 3.1-73 képlet szerint: $P_{x}=X_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{p=1}^{\infty }{X_{p}^{2}}$ Ennek négyzetgyöke lesz az effektív érték: $U_{eff}={\sqrt {X_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{p=1}^{\infty }{X_{p}^{2}}}}={\sqrt {X_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}X_{1}^{2}}}={\sqrt {10^{2}+{\frac {1}{2}}5^{2}}}$

$U_{0}=10$
$U_{e}ff={\sqrt {100+{\frac {25}{2}}}}=10.607$

c. Határozza meg a rendszer átviteli tényezőjét a megadott $\omega$ körfrekvencián! (2 pont)

Megoldás:
$H(j3.2)=2.245-j0.758=2.369e^{-j0,326}$

d. Számítsa ki a rendszer $y(t)$ válaszának időfüggvényét! (3 pont)

Megoldás:
$H(0)=3.75$
$y(t)=37.5+11.849\cos(\omega t-1.126)$

Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)

1. Az x[k] DI szinuszos jel komplex amplitúdója ${\overline {X}}=2e^{^{j{\frac {\pi }{3}}}}$, körfrekvenciája $\vartheta ={\frac {\pi }{2}}$. Adja meg az $y[k]=x[k-1]$ jel komplex amplitúdóját!

Megoldás:
$\left|{\overline {Y}}\right|=2\cdot e^{-j{\frac {\pi }{6}}}=2\cdot e^{-j0.524}$

2. Fogalmazza meg matematika alakban a torzításmentes jelátvitel kritériumát a folytonos idejű rendszer gerjesztés-válasz kapcsolatára vonatkozóan, az időtartományban!

Megoldás:
$y(t)=K\cdot u(t-T)$

3. Egy FI idejű rendszer átviteli tényezője adott körfrekvencián ${\overline {H}}=0.73e^{-j1.05}$. Adja meg a rendszer erősítését ugyanezen a körfrekvencián decibel [dB] egységben!

Megoldás:
$20\lg \left|{\overline {H}}\right|=-2.73dB$

4. Legfeljebb hány körfrekvenciájú harmónikus összetevőt tartalmazhat az L=6 periódusú diszkrét idejű jel valós Fourier sora? Sorolja fel ezen összetevők körfrekvenciáit!

Megoldás:
$\vartheta 0,{\frac {\pi }{3}},{\frac {2\pi }{3}},\pi$

5. Egy folytonos idejű rendszer ugrásválaszának spektruma $G(j\omega )$. Írja fel ennek ismeretében a rendszer átviteli karakterisztikáját!

Megoldás:
$H(j\omega )=j\omega \cdot G(j\omega )$