Matematika A4 - 2005/06 ősz 2. ZH

← Vissza az előző oldalra – Matematika A4 - Valószínűségszámítás

1. Feladat:

Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?

Megoldások

$X:RND1$

$Y:RND2$

valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek

• Két eset lehetséges:

$X<Y-X<1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y>X$

$Y<X-Y<1-X\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;X>Y$

• Az első eset - $Y>X$

$P[(X<Y-X)\cap (Y-X<1-Y)]=P[(Y>2X)\cap (Y<{\frac {X}{2}}+{\frac {1}{2}})]=ter(A)$

Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége).

• Második eset - $X>Y$

A szimmetria miatt az első esetben számított terület $x=y$ tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.

Teljes megoldás: $P(...)=2*ter(A)$

2. Feladat:

Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!

Megoldások

$X:{\sqrt[{3}]{RND}}$

$P(A<{\sqrt[{3}]{RND}}<B)=P(A^{3}<RND<B^{3})=B^{3}-A^{3}=\int _{A}^{B}3x^{2}\mathrm {d} x$

$f(x)=3x^{2}\;\;\;\;\;0<x<1$

$F(x)=\int _{0}^{x}3x^{2}\mathrm {d} x=[x^{3}]_{0}^{x}\;\;\;\;\;0<x<1$

• Várható érték = első momentum

$E(x)=\int _{0}^{1}x*3x^{2}\mathrm {d} x={\frac {3}{4}}$

Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:

$F(x)=P(X<x)=P({\sqrt[{3}]{RND}}<x)=P(RND<x^{3})=x^{3}\;\;\;\;\;0<x<1$

$f(x)=F'(x)=3x^{2}\;\;\;\;\;0<x<1$

3. Feladat:

Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)

Megoldások

$X=$ ahány balkezes

Binomiális eloszlás

$p=0,4$

$n=2400$

Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.

$m=p*n=960$

$\sigma ={\sqrt {n*p*(1-p)}}=24$

$P\left(0.39<{\frac {x}{2400}}<0.41\right)=P(936<x<984)=$

$=P\left({\frac {936-960}{24}}<{\frac {x-960}{24}}<{\frac {984-960}{24}}\right)=$

$=\phi (1)-\phi (-1)=68\%$