Matematika A4 - 2005/06 ősz 2. ZH
Tartalomjegyzék
1. Feladat:
Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?
[math] X: RND1 [/math]
[math] Y: RND2 [/math]
valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek
- Két eset lehetséges:
[math] X\lt Y-X\lt 1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y\gt X [/math]
[math] Y\lt X-Y\lt 1-X\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;X\gt Y [/math]
- Az első eset - [math] Y\gt X [/math]
[math] P[(X\lt Y-X)\cap(Y-X\lt 1-Y)]=P[(Y\gt 2X)\cap(Y\lt \frac{X}{2}+\frac{1}{2})]=ter(A) [/math]
Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége).
- Második eset - [math] X\gt Y [/math]
A szimmetria miatt az első esetben számított terület [math] x=y [/math] tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.
Teljes megoldás: [math] P(...)=2*ter(A) [/math]2. Feladat:
Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!
[math] X: \sqrt[3]{RND} [/math]
[math] P(A\lt \sqrt[3]{RND}\lt B)=P(A^3\lt RND\lt B^3)=B^3-A^3=\int_{A}^B 3x^2 \mathrm{d}x [/math]
[math] f(x)=3x^2\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]
[math] F(x)=\int_{0}^x 3x^2 \mathrm{d}x=[x^3]_{0}^x\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]
- Várható érték = első momentum
[math] E(x)=\int_{0}^1 x*3x^2 \mathrm{d}x=\frac{3}{4} [/math]
Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:
[math] F(x)=P(X\lt x)=P(\sqrt[3]{RND}\lt x)=P(RND\lt x^3)=x^3\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]
[math] f(x)=F'(x)=3x^2\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]3. Feladat:
Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)
[math] X= [/math] ahány balkezes
Binomiális eloszlás
[math] p=0,4 [/math]
[math] n=2400 [/math]
Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.
[math] m=p*n=960 [/math]
[math] \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}=24 [/math]
[math] P\left(0.39\lt \frac{x}{2400}\lt 0.41\right)=P(936\lt x\lt 984)= [/math]
[math] = P\left(\frac{936-960}{24}\lt \frac{x-960}{24}\lt \frac{984-960}{24}\right)= [/math]
[math] = \phi(1)-\phi(-1)=68 \% [/math]
