„Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
← Régebbi szerkesztés
VizuálisWikiszöveges
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
Szikszayl (vitalap | szerkesztései)
4 274 szerkesztés
aNincs szerkesztési összefoglaló
 
(7 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
{{GlobalTemplate|Villanyalap|VizsgaHat}}
__NOTOC__
{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}


===1. Feladat===


Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.


===Feladatok:===
{{Rejtett
=====1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.=====
|mutatott='''Megoldás'''
=====2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.=====
|szöveg=
=====3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>=====
=====4. Legyen <math> f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0</math> és <math>0, x=0</math>. (a) Hol folytonos és hol deriválható f? (b) Hol folytonos f'?=====
=====5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!=====
====== (a) Ha <math>a,b \neq 0</math> és <math>ab = ac</math>, akkor <math>b = c</math>======
====== (b) Ha <math>lima_n = limb_n = 0</math> akkor <math>lim \frac{a_n}{b_n} = 1</math>======
====== (c) Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n.======
====== (d) Ha f szigorúan monoton nő <math>\mathbb{R}</math>-en, akkor <math>lim_\infty f = \infty</math>======
=====6. Számítsa ki a következő integrálokat: (a) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx (b) \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx</math>=====


-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!


Ha tudod, írd le ide ;)


===Megoldások:===
}}


=====2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.=====
===2. Feladat===


<math>z^2 = \overline{z}^ 2</math>
Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.


Átírjuk másik alakba:
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=


<math>(a+bj)^2</math>=<math>(a-bj)^2</math>
<math> z^2 = \overline{z}^2 </math>
 
Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:
 
<math> (a+bi)^2 = (a-bi)^2 </math>
 
Zárójelek felbontása után:
 
<math> a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 </math>
 
Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:
 
<math> ab = -ab </math>
 
Ez akkor lehetséges, ha <math> a = 0 \vee b = 0 </math> és <math>a,b \in \mathbb{R}</math>, az összes ilyen alakú szám megoldás.
 
}}
 
===3. Feladat===
 
Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:
 
<math>a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>
 
<math>b, \; b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>
 
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
 
 
'''a, Feladat:'''
 
 
<math> a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
\left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
\left(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
\left(1-\frac{3}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>
 
A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:
<math>\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2} </math>
 
Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!
 
<math>\frac{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2+6}}{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^6} </math>
 
Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:
 
<math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>
 
 
'''b, Feladat:'''


<math>a^2</math>+<math>2abj</math>+<math>b^2</math><math>i^2</math>=<math>a^2</math><math>-2abj</math>+<math>b^2</math><math>i^2</math>


"hosszas" rendezés után:
A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:


abj=0
<math> b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>


Egy szorzat eredménye akkor és csak akkor zérus, ha valamely tagja a szoraztnak 0.
Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:


Tehát:
Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.
 
Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.
 
<math>2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} < 2-\frac{5}{n^2+2} < 2</math>
 
Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.
 
<math>\sqrt[n]{\frac{1}{3}} <\sqrt[n]{ 2-\frac{5}{n^2+2} }<\sqrt[n]{ 2}</math>
 
 
Tudjuk, hogy:
 
<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{\frac{1}{3}}}=1</math>


a=0 és "b" <math>\in</math> R
<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{ 2}} =1</math>
vagy
b=0 és "a" <math>\in</math> R
vagy
a és b is 0


Így a rendőrelv miatt:


(A tördelés kicsit csúnya, sajnos nem értek ehhez, kérlek ha nem fáradtság javítsd ki)
<math>\lim_{n\to\infty} {b_n}=1</math>
(*A megoldásomban nem vagyok biztos, senki sem ellenőrizte. Ha ellenőrizted, kérlek töröld ezt a sort.*)


-- [[GAbika]] -- 2009.01.15.
}}


Nekem az előző megoldás nem jelent meg érthetően, itt az enyém:
===4. Feladat===


<math> z^2 = \overline{z}^2 </math>
Legyen <math> f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0</math> és <math>0, x=0</math>.


Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:
a, Hol folytonos és hol deriválható <math>f(x)</math>?


<math> (a+bi)^2 = (a-bi)^2 </math>
b, Hol folytonos <math>f'(x)</math>?


Zárójelek felbontása után:
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=


<math> a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 </math>
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!


Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:
Ha tudod, írd le ide ;)


<math> ab = -ab </math>
}}


Ez akkor lehetséges, ha <math> a = 0 \vee b = 0 </math>, az összes ilyen alakú szám megoldás.
===5. Feladat===


-- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.
Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!


=====3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>=====
a, Ha <math>a,b \neq 0</math> és <math>ab = ac</math>, akkor <math>b = c</math>


b, Ha <math>\lim {a_n} = \lim{b_n} = 0</math> akkor <math>\lim{ \frac{a_n}{b_n} }= 1</math>


======(a)======
c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n
Először alkalmazzuk az [[OverLord|OverLord]] féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:


<math>(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2})^{3n^2} = (\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})^{3n^2} = (1-\frac{3}{n^2+2})^{3n^2}.</math>
d, Ha f szigorúan monoton nő <math>\mathbb{R}</math>-en, akkor <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {f(x) }= \infty</math>
A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:
<math>(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2} </math>


Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=


<math>\frac{(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6})^6} </math>
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:
<math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>


-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.
Ha tudod, írd le ide ;)


======(b) ======
}}
Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet:
Egyszerűsítsük a törtet <math>n^2</math>-el:
<math> \frac{2n^2-1}{n^2+2} = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \rightarrow  \underline{2} </math>
Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk:
<math> \sqrt[n]{2} \rightarrow \underline{\underline{1}} </math>


-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.
===6. Feladat===


Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. '''Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ!''' Tekintsük a nevezetes <math> (1+\frac{a}{n})^n = e^a </math> határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.
Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:


Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:
<math>a, \; \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>


<math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>
<math>b, \; \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx</math>


Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint <math> \sqrt[n]{2} </math>, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél <math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{3}} </math>, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=




'''a, Feladat:'''


-- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.


=====6.=====
======(a) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>======
Parciális törtekre bontjuk az integrandust:
Parciális törtekre bontjuk az integrandust:
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}</math>
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}</math>


117. sor: 171. sor:


<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}</math>
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}</math>


<math> 1 = (A+B)x^2 + Cx + A</math>
<math> 1 = (A+B)x^2 + Cx + A</math>
Két polinom csakis akkor lehet egyenlő, ha megegyeznek a megfelelő együtthatóik:


<math> A=1</math>
<math> A=1</math>
125. sor: 183. sor:


<math> C=0</math>
<math> C=0</math>
Tehát:


<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}</math>
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}</math>
Így már könnyű integrálni:
Így már könnyű integrálni:
<math> \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C </math>
<math> \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C </math>


-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.


======(b) <math> \int{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}}\;dx </math>======
'''b, Feladat:'''
 
 
<math>  \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} </math>
<math>  \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} </math>
Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)
Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)


<math> \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx =  \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}</math>
<math> \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx =  \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}</math>


-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.
}}
 


[[Category:Villanyalap]]
[[Kategória:Villamosmérnök]]

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 18:49-kori változata


1. Feladat

Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

2. Feladat

Oldja meg a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^2 = \overline{z}^ 2} egyenletet.

Megoldás

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^2 = \overline{z}^2 }

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a+bi)^2 = (a-bi)^2 }

Zárójelek felbontása után:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 }

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle ab = -ab }

Ez akkor lehetséges, ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a = 0 \vee b = 0 } és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a,b \in \mathbb{R}} , az összes ilyen alakú szám megoldás.

3. Feladat

Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b, \; b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}}

Megoldás

a, Feladat:


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}= \left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}= \left(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}\right)^{3n^2}= \left(1-\frac{3}{n^2+2}\right)^{3n^2}}

A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2} }

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2+6}}{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^6} }

Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}}


b, Feladat:


A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} }

Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:

Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.

Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} < 2-\frac{5}{n^2+2} < 2}

Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt[n]{\frac{1}{3}} <\sqrt[n]{ 2-\frac{5}{n^2+2} }<\sqrt[n]{ 2}}


Tudjuk, hogy:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{\frac{1}{3}}}=1}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{ 2}} =1}


Így a rendőrelv miatt:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} {b_n}=1}

4. Feladat

Legyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 0, x=0} .

a, Hol folytonos és hol deriválható Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x)} ?

b, Hol folytonos Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f'(x)} ?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

5. Feladat

Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

a, Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a,b \neq 0} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle ab = ac} , akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b = c}

b, Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim {a_n} = \lim{b_n} = 0} akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim{ \frac{a_n}{b_n} }= 1}

c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n

d, Ha f szigorúan monoton nő Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \mathbb{R}} -en, akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} {f(x) }= \infty}

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Feladat

Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a, \; \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b, \; \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx}

Megoldás

a, Feladat:


Parciális törtekre bontjuk az integrandust:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A(x^2+1)+ x(Bx +C)}{x(x^2+1)}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}}


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1 = (A+B)x^2 + Cx + A}


Két polinom csakis akkor lehet egyenlő, ha megegyeznek a megfelelő együtthatóik:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A=1}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (A+B)=0 \Rightarrow B = -1 }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle C=0}


Tehát:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}}


Így már könnyű integrálni:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C }


b, Feladat:


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} }

Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx = \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}}
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/index.php?title=Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.06.07&oldid=179582”