„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.02” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
← Régebbi szerkesztés
VizuálisWikiszöveges
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
aNincs szerkesztési összefoglaló
Szikszayl (vitalap | szerkesztései)
4 274 szerkesztés
aNincs szerkesztési összefoglaló
 
(13 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
==Feladatok==
__NOTOC__
===1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?===


<math> (z-\overline{z} = \sqrt{2}*i) \;\;\&\;\; (z*\overline{z} = 1) </math>
{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}


(i a képzetes egység)
===1. Feladat ===


===2. Határozza meg a következő határértékeket! ===
Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?


<math> a.\;\; \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} </math>
<math> (z-\overline{z} = \sqrt{2} \cdot i) \;\;\&\;\; (z \cdot \overline{z} = 1) </math>


<math> b.\;\; \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n </math>
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=


<math> c.\;\; \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} </math>
<math> z_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} \;\;\&\;\; z_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} </math>


===3. Válaszolja meg a kérdést!===


<math> \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \;? </math>
A megoldás menete: z-t algebrai alakban felírva: z = a+b*i


===4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?===


<math> f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} </math>
<math> z-\overline{z} = \sqrt{2} \cdot i \Rightarrow (a+b \cdot i)-(a-b \cdot i) = \sqrt{2} \cdot i \Rightarrow 2b \cdot i = \sqrt{2} \cdot i \Rightarrow b = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} </math>


===5. Válaszolja meg a kérdést!===


Legyen f mindenütt deriválható függvény!
<math> z \cdot \overline{z} = 1 \Rightarrow (a+b \cdot i) \cdot (a-b \cdot i) = 1 \Rightarrow a^2-ab \cdot i+ab \cdot i-b^2 \cdot i^2 = 1 \;\;\&\;\; i^2 = -1 \Rightarrow a^2+b^2 = 1 </math>


<math> f(x) = \frac{\sin x}{x} \;\;,ha\;\; x\neq0 </math>


<math> f(0) = \;?, \;f'(0) = \;? </math>
<math> a^2+b^2 = 1 \;\;\&\;\; b^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2+\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} \;\;\&\;\; a_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}</math>


===6. Konvergensek-e a következő improprius integrálok?===


<math>\displaystyle{ a.\;\; \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x} dx }</math>
<math> z_1 = a_1+b \cdot i \;\;\&\;\; z_2 = a_2+b \cdot i \Rightarrow z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \;\;\&\;\; z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i </math>


<math>\displaystyle{ b.\;\; \int_{1}^\infty \frac{1}{1-\cos {(x/2)}} dx }</math>
}}


-- [[HanakRobert|Hanci]] - 2007.01.04.
===2. Feladat===


==Megoldások==
Határozza meg a következő határértékeket!


===1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?===
<math> a,\;\; \lim_{n\to\infty} \left(1+{\frac{1}{3n^3}} \right)^{n^3} </math>


<math> (z-\overline{z} = \sqrt{2}*i) \;\;\&\;\; (z*\overline{z} = 1) </math>
<math> b,\;\; \lim_{n\to\infty} \left({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}} \right)^n </math>


(i a képzetes egység)
<math> c,\;\; \lim_{n\to\infty} \left(1-{\frac{1}{n}} \right)^{n^3} </math>


Megoldás -- [[HanakRobert|Hanci]] - 2007.01.04.
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=


<math> z_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} \;\;\&\;\; z_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} </math>
'''a, Feladat:'''
 
A megoldás menete: z-t algebrai alakban felírva: z = a+b*i
 
<math> z-\overline{z} = \sqrt{2}*i \Rightarrow (a+b*i)-(a-b*i) = \sqrt{2}*i \Rightarrow 2b*i = \sqrt{2}*i \Rightarrow b = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} </math>


<math> z*\overline{z} = 1 \Rightarrow (a+b*i)*(a-b*i) = 1 \Rightarrow a^2-ab*i+ab*i-b^2*i^2 = 1 \;\;\&\;\; i^2 = -1 \Rightarrow a^2+b^2 = 1 </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{3n^3}}\right)^{n^3} = \underline{\underline{e^{1/3}}} =  \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} </math>
 
<math> a^2+b^2 = 1 \;\;\&\;\; b^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2+\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} \;\;\&\;\; a_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}</math>
 
<math> z_1 = a_1+b*i \;\;\&\;\; z_2 = a_2+b*i \Rightarrow z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \;\;\&\;\; z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i </math>
 
===2. Határozza meg a következő határértékeket! ===
====a, feladat====
 
<math> a.\;\; \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} </math>
 
Megoldás -- [[HanakRobert|Hanci]] - 2007.01.04.
 
<math> \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} = \underline{\underline{e^{1/3}}} =  \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} </math>


A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés
A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés


<math> \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{a}{n}})^n = e^a \;\; a\in\mathbb{R} ,a=konstans </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{a}{n}}\right)^n = e^a \;\; a\in\mathbb{R} ,a=konstans </math>


legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen
legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen


<math> \lim_{m\to\infty}(1+{\frac{1/3}{m}})^m = \underline{\underline{e^{1/3}}} =  \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} </math>
<math> \lim_{m\to\infty}\left(1+{\frac{1/3}{m}}\right)^m = \underline{\underline{e^{1/3}}} =  \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} </math>


====b, feladat====


<math> b.\;\; \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n </math>


Megoldás -- [[HanakRobert|Hanci]] - 2007.01.04.
'''b, Feladat:'''


<math> \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n = \underline{\underline{0}} </math>
<math> \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3}*\frac{3}{n}  \right)^n </math>


A megoldás menete: a^n alakra visszavezetés
<math> \lim_{n\to\infty}a^n = 0 \;\; ,ha \;\; |a|<1 \;\; a\in\mathbb{R} ,a=konstans</math>
A hatványalap határértéke:
<math> \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}-\frac{1}{n}}) = \frac{1}{3} < 1</math>
A hatványalap tart az 1/3-hoz , n->végtelen, (1/3)^n -> *0*


Kiemelve:


====b, feladat 2. megoldása (ha a 0*0 alak nem indefinite?!)====
<math> \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3} \right)^n* \left(1+\frac{-3}{n} \right)^n =0 </math>


======megoldás  -- [[PogonyiA|Pogo]] - 2007.01.04.======


<math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3}-\frac{1}{n})^n = \lim_{n\to\infty}(1*\frac{1}{3}-\frac{1}{3}*\frac{3}{n})^n </math>
Mivel:  
Kiemelve:
<math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3})^n*(1+\frac{-3}{n})^n =0 </math>
Mivel: <math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3})^n = 0 </math> és <math> \lim_{n\to\infty}(1+\frac{-3}{n})^n=e^{-3}=\frac{1}{e^3}=0 </math>


<math> \lim_{n\to\infty}  \left(\frac{1}{3} \right)^n = 0 </math>


<math> \lim_{n\to\infty}  \left(1+\frac{-3}{n} \right)^n=e^{-3}=\frac{1}{e^3}=0 </math>


====c, feladat====


<math> c.\;\; \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} </math>


Megoldás -- [[HanakRobert|Hanci]] - 2007.01.04.
'''c, Feladat:'''


<math> \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} = \underline{\underline{0}} </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{n^3} = \underline{\underline{0}} </math>


A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés
A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés


<math> \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^n = \frac{1}{e} </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^n = \frac{1}{e} </math>


A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:
A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:


<math> \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} = \lim_{n\to\infty}((1-{\frac{1}{n}})^n)^{n^2} </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{n^3} = \lim_{n\to\infty}\left(\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^n\right)^{n^2} </math>


Mivel 1/e < 1
Mivel 1/e < 1


<math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{e})^{n^2} = \underline{\underline{0}} </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{e}\right)^{n^2} = \underline{\underline{0}} </math>


===3. Válaszolja meg a kérdést!===
}}


<math> \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \;? </math>
===3. Feladat===


Megoldás -- [[HanakRobert|Hanci]] - 2007.01.05.
<math> \lim_{x\to{0+}}\left({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}\right) = \;? </math>


<math> \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} </math>
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
 
<math> \lim_{x\to{0+}}\left({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}\right) = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} </math>


A megoldás menete:
A megoldás menete:
159. sor: 130. sor:
<math> \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{0+1}{0+3}} = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} </math>
<math> \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{0+1}{0+3}} = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} </math>


===4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?===
}}
 
===4. Feladat ===
 
Hol és milyen szakadása van a függvénynek?
 
<math> f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} </math>
 
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=


<math> f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} </math>
<math> f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} </math>


Megoldás -- [[PogonyiA|Pogo]] - 2007.01.05.
Megoldás menete: Jobb bal oldali határérték.


Megoldás menete:jobb bal oldali hat érték.
A nevező nem lehet=0 mert  
A nevező nem lehet=0 mert  
<math> {1+{e^{1/x}}} \neq 0 </math>  
<math> {1+{e^{1/x}}} \neq 0 </math>  
178. sor: 158. sor:
<math> \lim_{x\to{0-}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to{-\infty}} \frac{e^y}{1+e^y} = \lim_{z\to{0}} \frac{z}{z+1} = \frac{0}{1}=0 </math>
<math> \lim_{x\to{0-}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to{-\infty}} \frac{e^y}{1+e^y} = \lim_{z\to{0}} \frac{z}{z+1} = \frac{0}{1}=0 </math>


Tehát a Jo. és bo. hat érték nem ua. -> x=0-ban ugrása van.
Tehát a jobboldali és baloldali határérték nem ugyanaz -> x=0-ban ugrása van.
 
}}
 
===5. Feladat===
 
Legyen f mindenütt deriválható függvény!
 
<math> f(x) = \frac{\sin x}{x} \;\;,ha\;\; x\neq0 </math>
 
<math> f(0) = \;?, \;f'(0) = \;? </math>
 
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
 
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
 
Ha tudod, írd le ide ;)
 
}}
 
===6. Feladat===
 
Konvergensek-e a következő improprius integrálok?
 
<math>\displaystyle{ a,\;\; \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x} dx }</math>
 
<math>\displaystyle{ b,\;\; \int_{1}^\infty \frac{1}{1-\cos {(x/2)}} dx }</math>
 
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
 
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
 
Ha tudod, írd le ide ;)


}}


[[Category:Villanyalap]]
[[Kategória:Villamosmérnök]]

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 18:48-kori változata



1. Feladat

Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (z-\overline{z} = \sqrt{2} \cdot i) \;\;\&\;\; (z \cdot \overline{z} = 1) }

Megoldás

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} \;\;\&\;\; z_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} }


A megoldás menete: z-t algebrai alakban felírva: z = a+b*i


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z-\overline{z} = \sqrt{2} \cdot i \Rightarrow (a+b \cdot i)-(a-b \cdot i) = \sqrt{2} \cdot i \Rightarrow 2b \cdot i = \sqrt{2} \cdot i \Rightarrow b = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} }


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z \cdot \overline{z} = 1 \Rightarrow (a+b \cdot i) \cdot (a-b \cdot i) = 1 \Rightarrow a^2-ab \cdot i+ab \cdot i-b^2 \cdot i^2 = 1 \;\;\&\;\; i^2 = -1 \Rightarrow a^2+b^2 = 1 }


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a^2+b^2 = 1 \;\;\&\;\; b^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2+\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} \;\;\&\;\; a_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}}


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z_1 = a_1+b \cdot i \;\;\&\;\; z_2 = a_2+b \cdot i \Rightarrow z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \;\;\&\;\; z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i }

2. Feladat

Határozza meg a következő határértékeket!

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a,\;\; \lim_{n\to\infty} \left(1+{\frac{1}{3n^3}} \right)^{n^3} }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b,\;\; \lim_{n\to\infty} \left({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}} \right)^n }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle c,\;\; \lim_{n\to\infty} \left(1-{\frac{1}{n}} \right)^{n^3} }

Megoldás

a, Feladat:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{3n^3}}\right)^{n^3} = \underline{\underline{e^{1/3}}} = \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} }

A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés

legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{m\to\infty}\left(1+{\frac{1/3}{m}}\right)^m = \underline{\underline{e^{1/3}}} = \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} }


b, Feladat:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3}*\frac{3}{n} \right)^n }


Kiemelve:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3} \right)^n* \left(1+\frac{-3}{n} \right)^n =0 }


Mivel:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3} \right)^n = 0 }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{-3}{n} \right)^n=e^{-3}=\frac{1}{e^3}=0 }


c, Feladat:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{n^3} = \underline{\underline{0}} }

A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^n = \frac{1}{e} }

A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{n^3} = \lim_{n\to\infty}\left(\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^n\right)^{n^2} }

Mivel 1/e < 1

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{e}\right)^{n^2} = \underline{\underline{0}} }

3. Feladat

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}\left({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}\right) = \;? }

Megoldás

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}\left({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}\right) = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} }

A megoldás menete:

A 2 nem 0, valós, konstans szám -> egyszerűsíthetünk vele.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^4*\ln^2{x}+x^2*\ln{x}}{2x^4*\ln^2{x}+3x^2*\ln{x}}} }

Az x^2 nem 0, valós (x tart a 0-hoz, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^4*\ln^2{x}+x^2*\ln{x}}{2x^4*\ln^2{x}+3x^2*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln^2{x}+\ln{x}}{2x^2*\ln^2{x}+3*\ln{x}}} }

Az ln(x) nem 0, valós ( ln(x) tart a -végtelenhez, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln^2{x}+\ln{x}}{2x^2*\ln^2{x}+3*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} }

Ezután vizsgáljuk meg, hova tart 2x^2 * ln(x), ha x -> 0+

Mivel "0" * "-végtelen" alakú a kifejezés, átalakítható "végtelen"/"végtelen" alakúra, ami után már gond nélkül alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{2x^2*\ln{x}} = \lim_{x\to{0+}}{-2*\frac{-\ln{x}}{1/(x^2)}} = \lim_{x\to{0+}}{-2*\frac{-1/x}{-2/x^3}} = \lim_{x\to{0+}}{-(x^2)} = 0 }

Miután beláttuk, hogy a részkifejezés 0-hoz tart, megvizsgáljuk az egészet.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{0+1}{0+3}} = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} }

4. Feladat

Hol és milyen szakadása van a függvénynek?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} }

Megoldás

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} }

Megoldás menete: Jobb bal oldali határérték.

A nevező nem lehet=0 mert Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle {1+{e^{1/x}}} \neq 0 } mivel Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle {e^{1/x}} \neq -1 }

Tehát csak x=0 ban van szakadás.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to\infty} \frac{e^y}{1+e^y}= \lim_{z\to\infty} \frac{z}{z+1} \approx \frac{\infty}{\infty} L'H \frac{1}{1}=1 }


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0-}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to{-\infty}} \frac{e^y}{1+e^y} = \lim_{z\to{0}} \frac{z}{z+1} = \frac{0}{1}=0 }

Tehát a jobboldali és baloldali határérték nem ugyanaz -> x=0-ban ugrása van.

5. Feladat

Legyen f mindenütt deriválható függvény!

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{x} \;\;,ha\;\; x\neq0 }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(0) = \;?, \;f'(0) = \;? }

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Feladat

Konvergensek-e a következő improprius integrálok?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \displaystyle{ a,\;\; \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x} dx }}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \displaystyle{ b,\;\; \int_{1}^\infty \frac{1}{1-\cos {(x/2)}} dx }}

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/index.php?title=Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.01.02&oldid=179579”