„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09” változatai közötti eltérés

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 19:48-kori változata

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Feladat

Írja fel az $x + 2 y + 3 z = 4$ és a $3 x + 4 y + 5 z$ síkokkal párhuzamos, a $P = (1, 2, 3)$ ponton átmenő egyenes egyenletét!

Megoldás

Vegyük a két sík normálvektorát: ${\vec{n}}_{1} (1, 2, 3)$ és ${\vec{n}}_{2} (3, 4, 5)$ . Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:

$[\begin{array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}] = (10 - 12) i - (5 - 9) j + (4 - 6) k = (- 2, 4, - 2) = \vec{v} (- 1, 2, - 1)$

Az egyenes egyenlete: $P + t \cdot \vec{v}$ , egyenletrendszerben:

\begin{array}{rcl} x & = & 1 - t \\ y & = & 2 + 2 t \\ z & = & 3 - t \end{array} ⟺ - (x - 1) = \frac{y - 2}{2} = - (z - 3)

2. Feladat

Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

a, Ha $(a_{n})$ konvergens $(a_{n}^{n})$ is konvergens

b, Ha $(a_{n}^{n})$ konvergens $(a_{n})$ is konvergens

c, Ha $a_{n} \to 1$ akkor $a_{n}^{n} \to 1$

d, Ha $a_{n}^{n} \to 1$ akkor $a_{n} \to 1$

Megoldás

a, Nem igaz, pl. ha $(a_{n}) \equiv 2$ , akkor $(a_{n}^{n}) \to \infty$ , divergál a végtelenbe. ( $a_{n} \to A$ , $| A | < 0 \Rightarrow a_{n}^{n} \to B \in R$ , de egyes esetekben $| A | = 1$ -re is lehet.)

b, Nem igaz, pl.: $\begin{array}{rcll} a_{n} & : = & 1, - 1, 1, - 1, \dots & \to̸ \\ a_{n}^{n} & : = & 1, 1, 1, 1, \dots & \to 1 \end{array}$

c, Nem igaz, pl.: $\begin{array}{ll} (1 + \frac{1}{n}) & \to 1 \\ {(1 + \frac{1}{n})}^{n} & \to e \end{array}$

d, Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.

3. Feladat

Adott a következő függvény:

$f (x) = \frac{2 \sqrt{x} + 3 \sqrt[3]{x}}{6 \sqrt[3]{x} - 8 \sqrt{x}}$

$a, \lim_{x \to 0 +} f (x) = ?$

$b, \lim_{x \to \infty} f (x) = ?$

Megoldás

4. Feladat

Legyen $n \geq 1$ tetszőleges egész és $f (x) = x \arctan \frac{1}{x^{n}}$ ha $x \neq 0$ és $f (0) = 0$ . Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?

Megoldás

5. Feladat

Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az $f (x) = x^{5} - 80 x$ függvény kölcsönösen egyértelmű!

Megoldás

6. Feladat

Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékeit!

$a, \int_{0}^{π} \sin^{3} x d x = ?$

$b, \int_{0}^{π} x \sin x d x = ?$

Megoldás

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-{{GlobalTemplate|Villanyalap|VizsgaKetto}}
+__NOTOC__
+{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}
+===1. Feladat===
-=====1. Írja fel az <math>x+2y+3z=4</math> és a <math>3x+4y+5z</math> síkokkal párhuzamos, a <math>P = (1,2,3)</math> ponton átmenő egyenes egyenletét!=====
+Írja fel az <math>x+2y+3z=4</math> és a <math>3x+4y+5z</math> síkokkal párhuzamos, a <math>P = (1,2,3)</math> ponton átmenő egyenes egyenletét!
-=====2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?=====
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
-(a) Ha <math>(a_n)</math> konvergens <math>(a_n^n)</math> is konvergens
+Vegyük a két sík normálvektorát: <math>\vec n_1(1,2,3)</math> és <math>\vec n_2(3,4,5)</math>. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:
-(b) Ha <math>(a_n^n)</math> konvergens <math>(a_n)</math> is konvergens
+<math>\left[ \begin{array}{ccc} i & j  & k\\1 & 2 & 3\\3 & 4 & 5\end{array} \right] = (10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)=\vec  v(-1,2,-1)</math>
-(c) Ha <math>a_n\to1</math> akkor <math>a_n^n\to1</math>
+Az egyenes egyenlete: <math>P + t\cdot\vec v</math>, egyenletrendszerben:
-(d) Ha <math>a_n^n\to1</math> akkor <math>a_n\to1</math>
+<math>\begin{array}{rcl}
+x&=&1-t\\
+y&=&2+2t\\
+z&=&3-t
+\end{array}\iff
+-(x-1)=\frac{y-2}2=-(z-3)</math>
-=====3. Adott a következő függvény:=====
+}}
-<math> f(x)= \frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[3]{x}-8\sqrt{x}} </math>
+===2. Feladat===
+Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?
+a, Ha <math>(a_n)</math> konvergens <math>(a_n^n)</math> is konvergens
+b, Ha <math>(a_n^n)</math> konvergens <math>(a_n)</math> is konvergens
+c, Ha <math>a_n\to1</math> akkor <math>a_n^n\to1</math>
+d, Ha <math>a_n^n\to1</math> akkor <math>a_n\to1</math>
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
+a, Nem igaz, pl. ha <math>(a_n)\equiv 2</math>, akkor <math>(a_n^n)\to\infty</math>, divergál a végtelenbe. (<math>a_n\to A</math>, <math>|A|<0 \Rightarrow a_n^n\to B\in\mathbf R</math>, de egyes esetekben <math>|A|=1</math>-re is lehet.)
-<math> a.)\; \lim_{x\to{0+}} f(x)=? </math>
+b, Nem igaz, pl.:
+<math>\begin{array}{rcll}
+a_n&:=&1,-1,1,-1, \dots& \not\to\\
+a_n^n&:=&1,1,1,1, \dots& \to 1
+\end{array}</math>
-<math> b.)\; \lim_{x\to\infty} f(x)=? </math>
+c, Nem igaz, pl.:
+<math>\begin{array}{ll}
+\left(1+\displaystyle\frac 1n \right)&\to 1\\
+\left(1+\displaystyle\frac 1n \right)^n&\to e
+\end{array}</math>
-=====4. Legyen <math> n\geq1 </math> tetszőleges egész és <math>f(x)=x\arctan\frac{1}{x^n}</math> ha <math>x\neq0</math> és <math>f(0)=0</math>. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?=====
+d, Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.
-=====5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az <math> f(x)=x^5-80x </math> függvény kölcsönösen egyértelmű!=====
+}}
-=====6.=====
+===3. Feladat===
-<math>{a.)}\;\int_{0}^\pi \sin^3\!{x}\;\mathrm{d}x=?</math>
+Adott a következő függvény:
-<math>{b.)}\;\int_{0}^\pi {x}\sin\!{x}\;\mathrm{d}x=?</math>
+<math> f(x)= \frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[3]{x}-8\sqrt{x}} </math>
+<math> a,\; \lim_{x\to{0+}} f(x)=? </math>
-===Megoldások===
+<math> b,\; \lim_{x\to\infty} f(x)=? </math>
-=====1. Írja fel az <math>x+2y+3z=4</math> és a <math>3x+4y+5z</math> síkokkal párhuzamos, a <math>P = (1,2,3)</math> ponton átmenő egyenes egyenletét!=====
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
-=====Megoldás=====
+Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
-Vegyük a két sík normálvektorát: <math>\vec n_1(1,2,3)</math> és <math>\vec n_2(3,4,5)</math>. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:
+Ha tudod, írd le ide ;)
-<math>\left[ \begin{array}{ccc} i & j  & k\\1 & 2 & 3\\3 & 4 & 5\end{array} \right] = (10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)=\vec  v(-1,2,-1)</math>
+}}
-Az egyenes egyenlete: <math>P + t\cdot\vec v</math>, egyenletrendszerben:
+===4. Feladat===
-<math>\begin{array}{rcl}
+Legyen <math> n\geq1 </math> tetszőleges egész és <math>f(x)=x\arctan\frac{1}{x^n}</math> ha <math>x\neq0</math> és <math>f(0)=0</math>. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?
-x&=&1-t\\
-y&=&2+2t\\
-z&=&3-t
-\end{array}\iff
--(x-1)=\frac{y-2}2=-(z-3)</math>
-=====2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?=====
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
--======(a) Ha <math>(a_n)</math> konvergens <math>(a_n^n)</math> is konvergens======
+Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
--======(b) Ha <math>(a_n^n)</math> konvergens <math>(a_n)</math> is konvergens======
+Ha tudod, írd le ide ;)
--======(c) Ha <math>a_n\to1</math> akkor <math>a_n^n\to1</math>======
+}}
--======(d) Ha <math>a_n^n\to1</math> akkor <math>a_n\to1</math>======
+===5. Feladat===
+Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az <math> f(x)=x^5-80x </math> függvény kölcsönösen egyértelmű!
-=====Megoldás=====
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
-(a) Nem igaz, pl. ha <math>(a_n)\equiv 2</math>, akkor <math>(a_n^n)\to\infty</math>, divergál a végtelenbe. (<math>a_n\to A</math>, <math>|A|<0 \Rightarrow a_n^n\to B\in\mathbf R</math>, de egyes esetekben <math>|A|=1</math>-re is lehet.)
+Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
-(b) Nem igaz, pl.:
+Ha tudod, írd le ide ;)
-<math>\begin{array}{rcll}
-a_n&:=&1,-1,1,-1, \dots& \not\to\\
-a_n^n&:=&1,1,1,1, \dots& \to 1
-\end{array}</math>
-(c) Nem igaz, pl.:
+}}
-<math>\begin{array}{ll}
-\left(1+\displaystyle\frac 1n \right)&\to 1\\
-\left(1+\displaystyle\frac 1n \right)^n&\to e
-\end{array}</math>
-(d) Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.
+===6. Feladat===
+Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékeit!
+<math>a,\;\int_{0}^\pi \sin^3\!{x}\;\mathrm{d}x=?</math>
+<math>b,\;\int_{0}^\pi {x}\sin\!{x}\;\mathrm{d}x=?</math>
--- [[ImreGabor|Gabesz]] - 2007.01.09.
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
--- Thanx to Tóth Gábor
+Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
--- [[SzaboAndras2006|Andris]] - 2007.01.10.
+Ha tudod, írd le ide ;)
+}}
-[[Category:Villanyalap]]
+[[Kategória:Villamosmérnök]]

Bejelentkezés

Keresés

„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09” változatai közötti eltérés

Névterek

Több

Lapműveletek

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 19:48-kori változata

1. Feladat

2. Feladat

3. Feladat

4. Feladat

5. Feladat

6. Feladat

Navigáció

Navigáció

Egyetem

Wikieszközök

Wikieszközök

Bejelentkezés

Keresés

„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09” változatai közötti eltérés

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 19:48-kori változata

1. Feladat

2. Feladat

3. Feladat

4. Feladat

5. Feladat

6. Feladat

Navigáció

Wikieszközök

Eszközök

Kategóriák