Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Feladat

Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

2. Feladat

Oldja meg a $z^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{z}}$ egyenletet.

Megoldás

$z^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{z}}$

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

$(a+bi{)}^2=(a-bi{)}^2$

Zárójelek felbontása után:

$a^2+2abi-b^2=a^2-2abi-b^2$

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

$ab=-ab$

Ez akkor lehetséges, ha $a=0\vee b=0$ és $a,b\in \mathbb{ℝ}$, az összes ilyen alakú szám megoldás.

3. Feladat

Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

$a,a_n={\left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)}^{3n^2}$

$b,b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}$

Megoldás

a, Feladat:

$a_n={\left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)}^{3n^2}={\left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)}^{3n^2}={(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})}^{3n^2}={(1-\frac{3}{n^2+2})}^{3n^2}$

A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: ${(1-\frac{9}{3n^2+6})}^{3n^2}$

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

$\frac{{(1-\frac{9}{3n^2+6})}^{3n^2+6}}{{(1-\frac{9}{3n^2+6})}^6}$

Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:

$\underset{\_}{\underset{\_}{e^{-9}=\frac{1}{e^9}}}$

b, Feladat:

A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:

$b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}}$

Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:

Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.

Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.

$2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}<2-\frac{5}{n^2+2}<2$

Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.

$\sqrt[n]{\frac{1}{3}}<\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}}<\sqrt[n]{2}$

Tudjuk, hogy:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\frac{1}{3}}=1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{2}=1$

Így a rendőrelv miatt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=1$

4. Feladat

Legyen $f(x)=xarctan\frac{1}{x^2},x\ne 0$ és $0,x=0$.

a, Hol folytonos és hol deriválható $f(x)$?

b, Hol folytonos $f^{\prime }(x)$?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

5. Feladat

Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

a, Ha $a,b\ne 0$ és $ab=ac$, akkor $b=c$

b, Ha $\lim a_n=\lim b_n=0$ akkor $\lim \frac{a_n}{b_n}=1$

c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n

d, Ha f szigorúan monoton nő $\mathbb{ℝ}$-en, akkor $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Feladat

Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

$a,\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx$

$b,\int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx$

Megoldás

a, Feladat:

Parciális törtekre bontjuk az integrandust:

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A(x^2+1)+x(Bx+C)}{x(x^2+1)}$

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A{x}^2+A+B{x}^2+Cx)}{x(x^2+1)}$

$1=(A+B)x^2+Cx+A$

Két polinom csakis akkor lehet egyenlő, ha megegyeznek a megfelelő együtthatóik:

$A=1$

$(A+B)=0\Rightarrow B=-1$

$C=0$

Tehát:

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}$

Így már könnyű integrálni:

$\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx=\int \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}=ln|x|-\frac{1}{2}ln|x^2+1|+C$

b, Feladat:

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x{x}^{\frac{1}{2}}+3}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}$

Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

$\frac{2}{3}\int \frac{\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}dx=\frac{2}{3}ln|x^{\frac{3}{2}}+3|+C$