Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

2. Oldja meg a $z^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{z}}$ egyenletet.

Megoldás

$z^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{z}}$

Átírjuk másik alakba:

$(a+bj{)}^2$=$(a-bj{)}^2$

$a^2$+$2abj$+$b^2$$i^2$=$a^2$$-2abj$+$b^2$$i^2$

"hosszas" rendezés után:

abj=0

Egy szorzat eredménye akkor és csak akkor zérus, ha valamely tagja a szoraztnak 0.

Tehát:

a=0 és "b" $\in$ R vagy b=0 és "a" $\in$ R vagy a és b is 0

(A tördelés kicsit csúnya, sajnos nem értek ehhez, kérlek ha nem fáradtság javítsd ki) (*A megoldásomban nem vagyok biztos, senki sem ellenőrizte. Ha ellenőrizted, kérlek töröld ezt a sort.*)

-- GAbika -- 2009.01.15.

Nekem az előző megoldás nem jelent meg érthetően, itt az enyém:

$z^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{z}}$

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

$(a+bi{)}^2=(a-bi{)}^2$

Zárójelek felbontása után:

$a^2+2abi-b^2=a^2-2abi-b^2$

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

$ab=-ab$

Ez akkor lehetséges, ha $a=0\vee b=0$, az összes ilyen alakú szám megoldás.

-- MP - 2012.01.09.

3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

$a,a_n=(\frac{n^2-1}{n^2+2}{)}^{3n^2}$

$b,\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}$

Megoldás

(a)

Először alkalmazzuk az OverLord féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:

$(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}{)}^{3n^2}=(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}{)}^{3n^2}=(1-\frac{3}{n^2+2}{)}^{3n^2}.$ A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: $(1-\frac{9}{3n^2+6}{)}^{3n^2}$

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

$\frac{(1-\frac{9}{3n^2+6}{)}^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6}{)}^6}$ Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték: $\underset{\_}{\underset{\_}{e^{-9}=\frac{1}{e^9}}}$

-- Gyurci - 2008.01.14.

(b)

Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet: Egyszerűsítsük a törtet $n^2$-el: $\frac{2n^2-1}{n^2+2}=\frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}\to \underset{\_}{2}$ Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk: $\sqrt[n]{2}\to \underset{\_}{\underset{\_}{1}}$

-- OverLord - 2008.01.14.

Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ! Tekintsük a nevezetes $(1+\frac{a}{n}{)}^n=e^a$ határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.

Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:

$\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}}$

Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint $\sqrt[n]{2}$, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél $\sqrt[n]{2-\frac{5}{3}}$, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^

-- MP - 2012.01.09.

4. Legyen $f(x)=xarctan\frac{1}{x^2},x\ne 0$ és $0,x=0$.

a, Hol folytonos és hol deriválható $f(x)$?

b, Hol folytonos $f^{\prime }(x)$?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

a, Ha $a,b\ne 0$ és $ab=ac$, akkor $b=c$

b, Ha $\lim a_n=\lim b_n=0$ akkor $\lim \frac{a_n}{b_n}=1$

c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n

d, Ha f szigorúan monoton nő $\mathbb{ℝ}$-en, akkor $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

$a,\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx$

$b,\int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx$

Megoldás

(a) $\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx$

Parciális törtekre bontjuk az integrandust: $\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A(x^2+1)+x(Bx+C)}{x(x^2+1)}$

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A{x}^2+A+B{x}^2+Cx)}{x(x^2+1)}$

$1=(A+B)x^2+Cx+A$

$A=1$

$(A+B)=0\Rightarrow B=-1$

$C=0$

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}$ Így már könnyű integrálni: $\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx=\int \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}=ln|x|-\frac{1}{2}ln|x^2+1|+C$

-- OverLord - 2008.01.14.

(b) $\int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx$

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x{x}^{\frac{1}{2}}+3}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}$ Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

$\frac{2}{3}\int \frac{\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}dx=\frac{2}{3}ln|x^{\frac{3}{2}}+3|+C$

-- OverLord - 2008.01.14.