Labor ZH feladatai témakörök szerint csoportosítva

← Vissza az előző oldalra – Szabályozástechnika_(info)#Labor_ZH

Labor ZH feladatai témakörök szerint csoportosítva by Lévai Szabolcs alapján - elkezdtem gépelni a feladatok szövegét, Matlab-kódokat, kérlek, folytassátok! Így még könnyebben áttekinthető, kereshető lenne, feladat szövege szerint is. Egyelőre erősen piszkozat állapotú az oldal. MÉG HA A MINTAMEGOLDÁSBÓL IS SZÁRMAZIK, KEZELJÉTEK FENNTARTÁSOKKAL A KÓDOKAT ÉS AZ ÁBRÁKAT, MERT LEHETNEK BENNÜK HIBÁK ESETLEGES ELGÉPELÉSEK MIATT! Ha ilyet találtok, kérlek, javítsátok! --Haraszin Péter (vita) 2013. május 21., 19:22 (UTC)

Állapotváltozós leírás (stabilitás, irányíthatóság, megfigyelhetőség, állapotvisszacsatolásos szabályozás)

I. 3. Egy {A,b,c,d} paraméterekkel adott rendszer esetén

 A=[-1,1;0,-2], b=[1;2], c=[2,0], d=0

a./ Végezzen állapottranszformációt úgy, hogy az A mátrix diagonális legyen (kanonikus alak). Adja meg ebben az esetben az állapotmátrixokat. Adja meg a rendszer pólusait. (3 pont)

 A=[-1,1;0,-2], b=[1;2], c=[2,0], d=0
 
 [Ad,bd,cd,dd]=canon(A,b,c,d)
 eig(A)

Eredmény:

 %    Ad =
 %        -1     0
 %         0    -2
 %    
 %    bd =
 %        3.0000
 %        2.8284
 %    
 %    cd =
 %        2.0000   -1.4142
 %    
 %    dd =
 %         0

Pólusok:

--> p=[-1,-2]

b./ Irányítható-e, megfigyelhető-e a rendszer? (2 pont)

--> irányítható, megfigyelhető

rank(ctrb(A,b))

--> 2, tehát irányítható (megj.: ha a rang megegyezik A mx dimenziójával akkor irányítható)

rank(obsv(A,c))

--> 2, tehát megfigyelhető (megj.: ha a rang megegyezik A mx dimenziójával akkor megfigyelhető, itt n=2)

b./ Ábrázolja az eredeti rendszer állapottrajektóriáját u(t) = 0 és x(0)=[x_1(0);x_2(0)]=[2;6] felételek mellett. (3 pont)

 H=ss(A,b,c,d)
 x0=[2,6]
 [y,t,x]=initial(H,x0)
 plot(x(:,1), x(:,2))
 grid

http://i.imgur.com/gtSRpmT.png

---

II. 3. Egy {A,b,c,d} paraméterekkel adott rendszer esetén

 A=[-1,1;1,-1], b=[2;2], c=[5,0], d=0

c./ Irányítható-e és megfigyelhető-e a rendszer? (2 pont)

 A=[-1,1;1,-1], b=[2;2], c=[5,0], d=0
 [Ad,bd,cd,dd]=canon(A,b,c,d)
 H=ss(A,b,c,d)
 H=zpk(H)
 eig(A)

Eredmény:

 %    Ad =
 %         0     0
 %         0    -2
 %    
 %    bd =
 %        2.8284
 %             0
 %    
 %    cd =
 %        3.5355   -3.5355
 %    
 %    dd =
 %         0
 %    
 %    Continuous-time state-space model.
 %     
 %    Zero/pole/gain:
 %    10 (s+2)
 %    --------
 %    s (s+2)

Rendszer pólusai: 0, -2

Az hogy stabil-e az passz, a 0 miatt a stabilitás határán van.

rank(ctrb(A,b))

--> 1, tehát nem irányítható (megj.: ha a rang megegyezik A mx dimenziójával akkor irányítható, itt n=2, 1<2)

rank(obsv(A,c))

--> 2, tehát megfigyelhető (megj.: ha a rang megegyezik A mx dimenziójával akkor megfigyelhető, itt n=2, 2=2 --> IGEN)

---

III. 3. Egy folytonos szakasz állapotmátrixai:

 A=[-1,0,1;0,-2,0;2,0,-3], b=[2;1;1], c=[4,0,0], d=0

a./ Adja meg a rendszer pólusait. Stabilis-e a rendszer? (5 pont)

 A=[-1,0,1;0,-2,0;2,0,-3], b=[2;1;1], c=[4,0,0], d=0
 eig(A)

 %    p = 
 %     -0.2679
 %     -3.7321
 %     -2.0000

--> negatívak, tehát stabilis a rendszer

b./ Irányítható-e és megfigyelhető-e a rendszer? (4 pont)

 rank(ctrb(A,b))

--> 3, tehát irányítható (megj.: ha a rang megegyezik A mx dimenziójával akkor irányítható)

 rank(obsv(A,c))

--> 2, tehát NEM megfigyelhető (megj.: ha a rang megegyezik A mx dimenziójával akkor megfigyelhető, itt n=3, 2<3 --> NEM)

---

IV. 3. Egy folytonos szakasz állapotmátrixai:

 A=[-1,0,1;0,-2,0;2,0,-3], b=[2;1;1], c=[4,0,0], d=0

a./ Adja meg a rendszer pólusait. Stabilis-e a rendszer? (2 pont)

 A=[-1,0,1;0,-2,0;2,0,-3], b=[2;1;1], c=[4,0,0], d=0
 eig(A)

 %    p = 
 %     -0.2679
 %     -3.7321
 %     -2.0000

--> negatívak, tehát stabilis a rendszer

b./ Irányítható-e és megfigyelhető-e a rendszer? (3 pont)

 rank(ctrb(A,b))

--> 3, tehát irányítható

 rank(obsv(A,c))

--> 2, tehát NEM megfigyelhető

c./ Ábrázolja az eredeti rendszer (x_1, x_2) állapottrajektóriáját x_1=2 és x_2 = -3, x_3 = -2 kezdeti érték esetén. (3 pont)

 T=ss(A,b,c,d)
 x0=[2;-3;-2]
 [y,t,x]=initial(T,x0)
 plot(x(:,1), x(:,2))
 grid

http://i.imgur.com/Ti6sqzW.png

---

V. 3. Egy folytonos szakasz állapotmátrixai:

 A=[-1,0,1;0,-2,0;2,0,-4], b=[1;1;1], c=[4,0,0], d=0

a./ Adja meg a rendszer pólusait. Stabilis-e a rendszer? (3 pont)

 A=[-1,0,1;0,-2,0;2,0,-4], b=[1;1;1], c=[4,0,0], d=0
 eig(A)

 %    p = 
 %     -0.4384
 %     -4.5616
 %     -2.0000

--> negatívak, tehát stabilis

b./ Irányítható-e és megfigyelhető-e a rendszer? (3 pont)

 rank(ctrb(A,b))

--> 3, tehát irányítható

 rank(obsv(A,c))

--> 2, tehát NEM megfigyelhető

c./ Ábrázolja az eredeti rendszer x_1, x_2 állapottrajektóriáját x0=[1,-2,2] kezdeti feltétel esetén. (3 pont)

 H=ss(A,b,c,d)
 x0=[1;-2;2]
 [y,t,x]=initial(H,x0)
 plot(x(:,1), x(:,2))
 grid

http://i.imgur.com/nvpGt8f.png

---

VI. 2. Adott az alábbi folytonos folyamat:

 A=[-0.1,1;0,-0.4], b=[0;2], c=[4,0], d=0

a./ Adja meg a folyamat pólusait! Stabilis-e a folyamat? (2 pont)

 A=[-0.1,1;0,-0.4], b=[0;2], c=[4,0], d=0
 eig(A)

 %    p =
 %     -0.1000
 %     -0.4000

--> negatívak, tehát stabilis

b./ Tervezzen állapot-visszacsatolásos szabályozást úgy. hogy a zárt rendszer olyan másodrendű lengő tag legyen, amelynek csillapítási tényezője 0.7 és időállandója 1. Határozza meg az alapjelkövetéshez a statikus kompenzációs tényező értékét is. (4 pont)

 T0=1
 kszi=0.7
 den=[T0*T0,2*T0*kszi,1]
 pc=roots(den)

 %    den =
 %       1.0000    1.4000    1.0000
 %    
 %    pc =
 %      -0.7000 + 0.7141i
 %      -0.7000 - 0.7141i

 k=acker(A,b,pc)
 kr=1/dcgain(A-b*k,b,c,d)

 %    k =
 %      0.4350    0.4500

 %    kr =
 %      0.1250

c./ Ábrázolja a visszacsatolt rendszer állapottrajektóriáját x_1 = -2 és x_2 = 5 kezdeti érték esetén. (2 pont)

 T=ss(A-b*k,kr*b,c,d)
 x0=[-2,5]
 [y,t,x] = initial(T,x0)
 plot(x(:,1),x(:,2))
 grid

http://i.imgur.com/mtOcxdG.png

---

VII. 3. Egy folytonos szakasz állapotmátrixai:

   A=[-2,0,4;0,-2,0;4,0,-2], b=[2;1;1], c=[5,5,1], d=0

a./ Adja meg a rendszer pólusait! Stabilis-e a rendszer? (3 pont)

 eig(A)

 %    p=
 %      -6
 %      -2
 %       2

--> NEM stabil, mivel a 3. pólus pozitív!

b./ Tervezzen állapot-visszacsatolásos szabályozást úgy. hogy a zárt rendszer egy másodrendű lengő tagból és egy egytárolós tagból álljon. A lengő tag csillapítási tényezője 0.6 és időállandója 0.5 legyen. Az egytárolós tag időállandója legyen 2. Határozza meg az alapjelkövetéshez a statikus kompenzációs tényező értékét is. (4 pont)

 T0=0.5
 kszi=0.6
 den=[T0*T0, 2*T0*kszi, 1]
 pc=roots(den)
 pc(3)=-1/2   %T1=2, pc(3)=roots([T1, 1]) <- Az egytárolós tag gyöke [1/(1+T*s)]
 k=acker(A,b,pc)
 kr=1/dcgain(A-b*k,b,c,d)

c./ Ábrázolja a visszacsatolt rendszer ugrásválaszát. (2 pont)

 T=ss(A-b*k, kr*b, c, d)
 step(T)
 grid

http://i.imgur.com/dc8g5wK.png

---

VIII. 3. Adott az alábbi folytonos folyamat:

 A=[-1,5;0,-0.2], b=[2;1], c=[2,0], d=0

a./ Tervezzen állapot-visszacsatolásos szabályozást úgy. hogy a zárt rendszer olyan másodrendű lengő tag legyen, amelynek csillapítási tényezője 0.6 és időállandója 0.5. Határozza meg az alapjelkövetéshez (egységnyi erősítés) a statikus kompenzációs tényező értékét is. (5 pont)

 A=[-1,5;0,-0.2], b=[2;1], c=[2,0], d=0
 T0=0.5
 kszi=0.6
 den=[T0*T0, 2*T0*kszi, 1]
 pc=roots(den)

 %    den =
 %      0.2500    0.6000    1.0000
 %
 %    pc =
 %      -1.2000 + 1.6000i
 %      -1.2000 - 1.6000i

 k=acker(A,b,pc)
 kr=1/dcgain(A-b*k,b,c,d)

 %    k =
 %      0.7647   -0.3294

b./ Ábrázolja a visszacsatolt rendszer ugrásválaszát. (3 pont)

 T=ss(A-b*k, kr*b, c, d)
 step(T)
 grid

http://i.imgur.com/fO7bReA.png

(pdf-ből 4. oldalig)

---

Erősítés, frekvencia, fázistolás (pdf 7. oldal! itt ugrottam egyet! a többi ezelőtt még beírandó)

I. 1. Egy folytonos szakasz átviteli függvénye P(s)=2/( (1+s)*(1+5*s) ). u(t) = sin(0.5t) gerjesztés esetén a kimeneti jel állandósult állapotbeli válasza u{t) = A sin(t + φ). Adja meg A és φ értékét. (5 pont)

 s=zpk('s');
 P=2/( (1+s)*(1+5*s) )
 w=0.5
 [a,fi]=bode(P,w)
 A=2*a                 %% miért is így? (hol volt a 2?)

 %    w =
 %        0.5000
 %      
 %    a =
 %        0.6644
 %      
 %    fi =
 %      -94.7636
 %    
 %    A =
 %      1.3287

---

II. 1. Egy folytonos szakasz átviteli függvénye P(s)=( 2/( (1+s)*(1+0.1*s) ) )*e^(-2*s). u(t) = 3*sin(2*t) gerjesztés esetén a kimeneti jel állandósult állapotbeli válasza u{t) = A sin(2*t + φ). Adja meg A és φ értékét. (5 pont)

 s=zpk('s');
 P=2/( (1+s)*(1+0.1*s) )
 w=2
 Td=2
 [m,f]=bode(P,w)
 fi_delay=-w*Td*180/pi
 A=3*m
 fi=f+fi_delay

 %    m =
 %        0.8771
 %      
 %    f =
 %      -74.7449
 %      
 %    fi_delay =
 %     -229.1831
 %      
 %    A =
 %        2.6312
 %      
 %    fi =
 %     -303.9280

---

III. 1. Egy folytonos szakasz átviteli függvénye P(s)=( 1/( (1+s)*(1+3*s) ) )*e^(-0.5*s). u(t) = 2*sin(t) bemenőjel esetén állandósult állapotban a kimenőjel y{t) = A*sin(ω*t + φ). Határozza meg A, ω, φ paraméterek értékét! (6 pont)

 s=zpk('s');
 P= 1/( (1+s)*(1+3*s) )
 w=1             % mo.!!
 Td=0.5
 [m,fi]=bode(P,w)
 A=2*m
 fid=fi-Td*w*180/pi
 
 %    m =
 %        0.2236
 %    
 %    fi =
 %     -116.5651
 %    
 %    A =             % mo.!!
 %        0.4472
 %    
 %    fid =           % mo.!!
 %     -145.2129

---

IV. 1. Egy folytonos szakasz átviteli függvénye P(s)=( 2/( (1+0.5*s)*(1+5*s) ) )*e^(-2*s). u(t) = 2*sin(t) gerjesztés esetén a kimeneti jel állandósult állapotbeli válasza y{t) = A*sin(t + φ). Határozza meg A és φ paraméterek értékét! (6 pont)

 s=zpk('s');
 P= 2/( (1+0.5*s)*(1+5*s) )
 w=1
 Td=2
 Au=2
 [m,f]=bode(P,w)
 fi=f-Td*w*180/pi
 A=m*Au

 %    m =
 %        0.3508
 %    
 %    f =
 %     -105.2551
 %    
 %    fi =        % mo!
 %     -219.8467
 %    
 %    A =         % mo!
 %        0.7016

---

V. 1. Egy folytonos szakasz átviteli függvénye P(s)=( 1/( (1+s)*(1+2*s) ) )*e^(-s). u(t) = 10*sin(2t) bemenőjel esetén állandósult állapotban a kimenőjel y{t) = A*sin(ω*t + φ). Határozza meg A, ω és φ paraméterek értékét! (6 pont)

 s=zpk('s');
 P= 1/( (1+s)*(1+2*s) )
 Td=1
 w=2       % mo!!
 [m,fi]=bode(P,w)
 fid=fi-Td*w*180/pi
 A=10*m

 %    m =
 %        0.1085
 %    f =
 %       -139.3987
 %    
 %    fid =       % mo!!
 %      -253.9903
 %    
 %    A =         % mo!!
 %      1.0847

---

Impulzusátviteli függvény (pdf 9. oldal)

I. 2. Egy mintavételes szabályozási körben a szakasz átviteli függvénye: P(s)=( 2/( s*(1+2*s) ) )*e^(-s). A mintavételezési idő: T_s=0.5.

a./ Zérusrendű tartószerv esetén adja meg a szakasz G(z) impulzusátviteli függvényét zérus-pólus alakban. (3 pont)

 s=zpk('s');
 P=2/( s*(1+2*s) )
 Ts=0.5
 Td=1
 d=Td/Ts
 z=zpk('z',Ts)
 G1z=c2d(P,Ts)
 Gz=G1z/(z^d)

 %    d=2
 %    
 %    Zero/pole/gain:        %% mo!  
 %    G(z) =
 %     0.1152 (z+0.9201)
 %    --------------------
 %    z^2 (z-1) (z-0.7788)

b./ A szabályozó impulzusátviteli függvénye C(z) = 0.5*( (z-z_1)/z ). Póluskiejtéses kompenzáció esetén adja meg z_1, értékét. Milyen típusú szabályozót valósítottunk meg? (2 pont)

 z1=0.7788

Ideális PD-szabályozó.

c./ Stabilis-e a diszkrét zárt rendszer? A diszkrét zárt szabályozási körben adja meg a beavatkozójel értékét az első 5 mintavételi pontban egységugrás alapjel esetén. (3 pont)

 Cz=0.5*(z-z1)/z
 Lz=minreal(Cz*Gz, 0.001)
 margin(Lz)
 Uz=Cz/(1+Lz)
 Uz=minreal(Uz, 0.001)
 ud=step(Uz, Ts*5)

Stabilis: fázistartalék > 0. (Lz amúgy nem stabil (lásd step(Lz), csak így visszacsatolva lesz.)

 %    ud =        % mo!
 %        0.5000
 %        0.1106
 %        0.1106
 %        0.0818
 %        0.0489
 %        0.0367

Érdekes, itt a mintamegoldás szerint ennek kell kijönnie:

 %  ud[1:5] = 2.0000, 0.4424, 0.4424, -0.0184, -0.5443

--> ???

http://i.imgur.com/5CrilUr.png

---

II. 2. Egy mintavételes szabályozási körben a szakasz átviteli függvénye: P(s)=( 4/( (1+s)*(1+3*s) ) )*e^(-s). A mintavételezési idő: T_s=0.5.

a./ Zérusrendű tartószerv esetén adja meg a szakasz G(z) impulzusátviteli függvényét zérus-pólus alakban. (3 pont)

 s=zpk('s')
 P=4/( (s+1)*(1+3*s) )
 Ts=0.5
 Td=1
 d=Td/Ts
 z=zpk('z',Ts)
 G1z=c2d(P,Ts)
 Gz=G1z/(z^d)

 %    d=2
 %    
 %    Zero/pole/gain:        %% mo!  
 %    G(z) =
 %       0.13417 (z+0.8008)
 %    -------------------------
 %    z^2 (z-0.8465) (z-0.6065)

b./ A szabályozó impulzusátviteli függvénye C(z) = 0.25*( (z-z_1)/(z-1) ). Póluskiejtéses kompenzáció esetén adja meg z_1, értékét. Milyen típusú szabályozót valósítottunk meg? (2 pont)

PI-szabályozó.

 z1=0.8465

c./ Stabilis-e a diszkrét zárt rendszer? Ábrázolja a zárt diszkrét rendszer ugrásválaszát. Adja meg a beavatkozó jel kezdeti és végértékét. (3 pont)

 Cz=0.25*(z-z1)/(z-1)
 Lz=minreal(Cz*Gz, 0.001)
 [gm,pm]=margin(Lz)
 
 %    gm =      % mo.!!
 %      3.0568
 %
 %    pm =      % mo.!!
 %     52.6390

--> stabilis.  % mo.!!

 Tz=Lz/(1+Lz)
 figure(2)
 step(Tz)
 grid

http://i.imgur.com/bsGKmsd.png

 Uz=Cz/(1+Lz)
 Uz=minreal(Uz, 0.001)
 figure(3)
 step(Uz)
 grid

http://i.imgur.com/h3m8ido.png

 %  u(0) = 0.25
 %  u(végtelen) = 0.25

---

Stabilitásvizsgálat, jelábrázolás (pdf 12. oldal)

I. 1. Adott az alábbi szabályozási kör:

C(s)=(1+5*s)/s P(s)=1/((1+5*s)*(1+s)*(1+0.2*s))

http://i.imgur.com/pnitBve.png

a./ Adja meg a rendszer vágási körfrekvenciáját, fázistartalékát és erősítési tartalékát. Stabilis-e a zárt rendszer? Egységugrás zavarójelre és zérus alapjel esetén: b./ Ábrázolja minőségileg helyesen az y kimenőjel időbeli lefolyását, c./ Adja meg a kimenőjel és a beavatkozójel állandósult értékét.

 s=zpk('s')
 C=(1+5*s)/s
 P=1/((1+5*s)*(1+s)*(1+0.2*s))
 L=C*P
 L=minreal(L)
 figure(1)
 margin(L)

http://i.imgur.com/k0MFBzL.png

 %  Gm=15.6dB

 [gm,pm,wg,wc]=margin(L)

 %  gm=6, pm=43.2099, wc=0.7793rad/sec

Mivel pm>0, a szabályozás stabilis.

 Tz=P/(1+L)
 Tz=minreal(Tz)
 figure(2)
 step(Tz)
 grid

 % y_vég=0,
 % u_vég=-1

http://i.imgur.com/ky0WOL8.png

---

II. 1. Adott az alábbi szabályozási kör:

 %  C(s)=(1+10*s)/(10*s)
 %  P(s)=1/(1+10*s)(1+s)(1+0.5*s)

http://i.imgur.com/pnitBve.png

a./ Adja meg a rendszer fázistartalékát, erősítési tartalékát és modulus tartalékát. Stabilis-e a zárt rendszer? Egységugrás zavarójel és zérus alapjel (r(t) = 0 és y_z(t) = 1(t)) esetén: b./ Ábrázolja minőségileg helyesen az y kimenőjel időbeli lefolyását. (3 pont) c./ Adja meg a beavatkozó jel kezdeti és állandósult értékét.

 s=zpk('s')
 C=(1+10*s)/(10*s)
 P=1/((1+10*s)*(1+s)*(1+0.5*s))
 L=C*P
 L=minreal(L)
 figure(1)
 margin(L)
 [gm,pm]=margin(L)
 m=bode(L+1)
 mt=min(m)

http://i.imgur.com/Ml3h14J.png

 %  gm= 30 (29.5dB), pm=81.48, mt=0.89, stabilis (pm>0)

 Tz=P/(1+L)
 Tz=minreal(Tz)
 figure(2)
 step(Tz)
 grid

 %  y_vég=0,
 %  u_vég=-1

http://i.imgur.com/p6IXH9U.png

---

---

IV. 2. Adott az alábbi szabályozási kör:

http://i.imgur.com/pmsZXdQ.png

a./ Határozza meg K maximális értékét, amelynél a zárt rendszer még stabilis! (2 pont) K = 3 mellett: b./ adja meg a rendszer erősítési tartalékát, fázistartalékát és modulus tartalékát. Stabilis-e a zárt szabályozási rendszer? (3 pont) c./ r(t) = 0 és y_z(t) = 1(t) esetén ábrázolja minőségileg helyesen az y(t) kimenőjel időbeli lefolyását. Jelölje be az ábrán a fontosabb értékeket (kezdeti érték, végérték, beállási idő)! (2 pont) d./ r(t) = e^(-2t) és y_z(t)=0 esetén ábrázolja minőségileg helyesen az y{t) kimenőjel időbeli lefolyását! {2 pont)

 s=zpk('s')
 P= 1/( (1+s)*(1+5*s) )
 C=3*(1+5*s)/(5*s)
 L=C*P
 L=minreal(L)

b./

 [gm,pm]=margin(L)
 m=bode(L+1);
 mt=min(m)

 %  pm=62, mt=0.76, stabilis

c./

 H=minreal(1/(1+L))
 step(H)
 grid on

d./

 T=minreal(L/(1+L))
 R=1/(s+2)
 impulse(R,T*R)
 grid

http://i.imgur.com/7TT8YyK.png

---

V. 2. Adott az alábbi szabályozási kör: (pdf-ből 1 feladat itt megint kimaradt, pótolni!)

http://i.imgur.com/pnitBve.png

 % C(s)=(1+20*s)/(20*s)
 % P(s)=10/( (1+20*s)*(1+2*s)*(1+s) )

a./

 s=zpk('s')
 C=(1+20*s)/(20*s)
 P=10/( (1+20*s)*(1+2*s)*(1+s) )
 L=C*P
 L=minreal(L)
 figure(1)
 margin(L)
 [gm,pm]=margin(L)
 m=bode(L+1);
 mt=min(m)
 
 % gm=3 (9.5dB), pm = 32.6, mt=0.43, stabilis

b./

 U=minreal(-C/(1+L))
 step(U)
 grid

 % u_kezd = -1
 % u_vég = -0.1

c./

 T=minreal(L/(1+L))
 R=1/(s*s)
 impulse(R,T*R,30)
 grid

vagy

 t=0:0.1:30;
 r=t;
 y=lsim(T,r,t);
 plot(t,r,t,y)
 grid

mego.:

 % es=1/K=1/0.5=2

---

Youla parametrizált szabályzó (pdf 17. oldal)

I. 4. Egy irányítandó szakasz átviteli függvénye: P(s)=1/(1+8*s). A szakaszt T_s=1 sec mintavételi idővel mintavételezzük, bemenetén zérusrendű tartószervet alkalmazunk. Tervezzen Youla parametrizált szabályozót az alábbi feltételekkel: G_- = 1 (a szakasz dinamikája a szabályozóval kiejthető), az alapjel követési dinamikáját előíró R_r impulzusátviteli függvény az 1/(1+s) átviteli függvény mintavételezésével, a zavarelhárítást előíró R_n impulzusátviteli függvény az 1/(1+s) átviteli függvény mintavételezéséből adódik.

a./ Adja meg a szakasz és a szűrők impulzusátviteli függvényeit. (2 pont)

G(z)=0.1175/(z-0.8825) G(z)=________ G_- = 1 G_+ = z*G(z)=0.1175/(z-0.8825*z^(-1)) R_r(z) = 0.63212/(z-0.3679) R_n(z) = 0.63212/(z-0.3679)

b./ Adja meg a Q Youla paramétert. (1 pont)

Q=R_n/G_+ =( 5.3796*(z-0.8825) )/( z*(z-0.3679) )

c./ Adja meg a Youla parametrizált C szabályozót. (1 pont)

C=Q/(1-QG)=( 5.3796*(z-0.8825) )/( (z-1)*(z+6321) )

Egységugrás alapjel esetén:

d./ Vázolja fel minőségileg helyesen a kimenőjel lefolyását. Mennyiben tér ez el az R_r szűrő kimenőjelétől? (2 pont)

A kimenőjel egy mintavételi lépéssel késik az alapjelszűrő kimenőjeléhez képest.

e./ Mekkora a beavatkozójel maximális értéke? (1 pont)

u_max = 5.3796

f./ Egységugrás kimeneti zavarójelre mekkora a kimenőjel kezdeti és végértéke? (1 pont)

A kimeneti zavarás hatására a kimenőjel kezdeti értéke 1, végértéke 0, dinamikáját R_n határozza meg.

---

A program:

 clear
 s=zpk('s')
 P=1/(1+8*s)
 Ts=1
 G=c2d(P,Ts)
 z=zpk('z',Ts)
 Gm=1
 Gp=G*z
 display(' Rr ='), Rr=c2d(1/(1+s), Ts)
 display(' Rn ='), Rn=c2d(1/(1+s), Ts)
 display(' Q ='),  Q=minreal(Rn/Gp)
 display(' C ='),  C=minreal( (Rn/Gp)*(1/(1-Rn*Gm*z^(-1))) )
 L=minreal(C*G)
 T=minreal( (Rr/Rn)*L/(1+L) )
 figure(1)
 step(Rr,T)
 grid
 
 [u,t]=step((Rr/Rn)*Q)
 umax=max(u)
 figure(2)
 stairs(t,u)
 grid
 
 %disturbance
 Sn=( 1-Rn*Gm*z^(-1) )
 figure(3), step(Sn), grid
 figure(4), step(-Q, 10), grid

http://i.imgur.com/rwwt15n.png http://i.imgur.com/ssXo8O0.png http://i.imgur.com/RBYyicd.png http://i.imgur.com/MNzfVNZ.png

---

II. 4. Egy irányítandó szakasz átviteli függvénye: P(s)=( 1/((1+5*s)*(1+10*s)) )*e^(-2*s). A szakaszt T_s=2 sec mintavételi idővel mintavételezzük, bemenetén zérusrendű tartószervet alkalmazunk. Tervezzen Youla parametrizált szabályozót egységnyi alapjel és zavarójel szűrő feltételezésével (R_r=1; R_n=1)

a./ Adja meg a szakasz impulzusátviteli függvényét. Adja meg a szakasz felbontását. (G_+, G_- és d kifejezéét a G=( G_+*G_-*z^(-d) ) felbontásban). (3 pont)

G(z)=( 0.032859*(z+0.8187) )/((z-0.8187)*(z-0.6703)*z) G_- = (1+0.8187*z^(-1))/(1 + 0.8187) = (z+0.8187)/1.8187z = (0.54984*(z+0.8187))/z

d=2

G_+ = ( (0.032859 *1.8187)*z^2 ) / ( (z-0.8187)*(z-0.6703) ) = 0.05976/( (1-0.8187*z^(-1))*(z-0.6703*z^(-1)) )

b./ Adja meg a Q Youla paramétert. (1 pont)

Q=R_n/G_+ =( 16.7336*(z-0.8187)*(z-0.6703) )/( z^2 )

c./ Adja meg a Youla parametrizált C szabályozót. (1 pont)

C=Q/(1-QG)=( 16.7336*z*(z-0.8187)*(z-0.6703) )/( (z-1)*(z^2+z+0.4502) )

Egységugrás alapjel esetén:

e./ Mekkora a beavatkozójel maximális értéke? (1 pont)

u_max = 16.7336

---

A program:

 clear
 s=zpk('s')
 P1=1/((1 +5*s)*(1+10*s) )
 Ts=2
 G1=c2d(P1,Ts)
 z=zpk('z',Ts)
 G=G1/z
 
 d=2
 
 display(' Gm ='), Gm=((z+0.8187)/( 1+0.8187))*z^(-1)
 display(' Gm ='), Gp=minreal(G/Gm/(z^(-d)), 0.001)
 Rr=1;
 Rn=1;
 
 display(' Q ='),  Q=minreal(Rn/Gp)
 display(' C ='),  C=minreal( Q/(1-Q*G) )
 L=minreal(C*G)
 T=minreal( (Rr/Rn)*L/(1+L) )
 figure(1)
 step(T)
 grid
 
 [u,t]=step((Rr/Rn)*Q)
 umax=max(u)
 figure(2)
 stairs(t,u)
 grid
 
 %disturbance
 Sn=( 1-Rn*Gm*z^(-1) )
 figure(3), step(Sn), grid
 figure(4), step(-Q, 10), grid

http://i.imgur.com/cBmBOVk.png http://i.imgur.com/iAV7PTU.png http://i.imgur.com/SufW0Iy.png http://i.imgur.com/5H3EdCr.png

---

III. 4. Egy irányítandó szakasz átviteli függvénye: P(s)=( 1/((1+2*s)*(1+10*s)) )*e^(-2*s). A szakaszt T_s=2 sec mintavételi idővel mintavételezzük, bemenetén zérusrendű tartószervet alkalmazunk. Tervezzen Youla parametrizált szabályozót R_r=1/z; R_n=1/z feltételezésével.

a./ Adja meg a szakasz impulzusátviteli függvényét. (2 pont)

 clear
 s=zpk('s')
 P1=( 1/((1+2*s)*(1+10*s)) )
 Ts=2
 Td=2
 d=Td/Ts
 G1=c2d(P1,Ts)
 z=zpk('z',Ts)
 G=G1/(z^d)

 %% G=G_+*G_-*z^(-d) =
 %%  Zero/pole/gain:
 %%    0.068556 (z+0.6714)
 %%  -----------------------
 %%  z (z-0.8187) (z-0.3679)

b./ Adja meg a szakasz felbontását (G_+, G_- és d kifejezését a G=( G_+*G_-*z^(-d) ) felbontásban). (1 pont)

 Gm=(z+0.6714)/z
 Gm=Gm/dcgain(Gm)
 d=1
 Gp=minreal(G/(Gm*z^(-d)), 0.001)

 %  G_- =
 %  0.5983 (z+0.6714)
 %  -----------------
 %          z

 %  G_+ =
 %        0.11459 z
 %  ---------------------
 %  (z-0.8187) (z-0.3679)

c./ Adja meg a Q Youla paramétert és a Youla parametrizált C szabályozót. (2 pont)

 Rr=1/z;
 Rn=1/z;
 Q=minreal(Rn/Gp)
 C=minreal( Q/(1-Q*G) )

Q=R_n/G_+ =

 %    8.7271 (z-0.8187) (z-0.3679)
 %    ----------------------------
 %                z^2

C=Q/(1-QG)=

 %    8.7271 z (z-0.8187) (z-0.3679)
 %    ------------------------------
 %       (z-1) (z^2 + z + 0.4017)

e./ Mekkora a beavatkozójel maximális értéke? (1 pont)

 L=minreal(C*G)
 T=minreal( (Rr/Rn)*L/(1+L) )
 Uz=minreal( (Rr/Rn)*Q )
 umax=max(step(Uz))
 
 figure(1)
 step(T)
 grid
 
 figure(2)
 step(Uz)
 grid

umax = 8.7271

http://i.imgur.com/CtZyXTG.png

http://i.imgur.com/gAZotA1.png

---

IV. 4. Egy irányítandó szakasz átviteli függvénye: P(s)= 1/((1+2*s)*(1+4*s)). A szakaszt T_s=2 sec mintavételi idővel mintavételezzük, bemenetén zérusrendű tartószervet alkalmazunk. Tervezzen Youla parametrizált szabályozót R_r(z)=0.6/(z-0.4); R_n(z)=0.6/(z-0.4) zavarójel szűrők feltételezésével.

a./ Adja meg a szakasz impulzusátviteli függvényét. (2 pont)

 s=zpk('s')
 P1=( 1/((1+2*s)*(1+4*s)) )
 Ts=2
 G=c2d(P1,Ts)
 z=zpk('z',Ts)

 %% G=G_+*G_-*z^(-d) =
 %   0.15482 (z+0.6065)
 %  ---------------------
 %  (z-0.6065) (z-0.3679)

b./ Adja meg a szakasz G=( G_+*G_-*z^(-d) ) felbontását. (1 pont)

 Gm=(z+0.6065)/z
 Gm=Gm/dcgain(Gm)
 Gp=minreal(G/Gm, 0.001)

 %  G_- = 
 %  0.62247 (z+0.6065)
 %  ------------------
 %          z

 %  G_+ = 
 %        0.24872 z
 %  ---------------------
 %  (z-0.6065) (z-0.3679)

c./ Adja meg a Q Youla paramétert és a C szabályozót. (2 pont)

 Rn=0.6/(z-0.4)
 Rr=0.6/(z-0.4)
 Q=minreal(Rn/Gp)
 C=minreal( Q/(1-Q*G) )
 L=minreal(C*G)
 T=minreal( (Rr/Rn)*L/(1+L) )
 Uz=minreal( (Rr/Rn)*Q )
 umax=max(step(Uz))

 %  Q=R_n/G_+ =
 %  2.4124 (z-0.6065) (z-0.3679)
 %  ----------------------------
 %           z (z-0.4)

 %  C=Q/(1-Q*G)=
 %  2.4124 (z-0.6065) (z-0.3679)
 %  ----------------------------
 %        (z-1) (z+0.2265)

e./ Mekkora a beavatkozójel maximális értéke? (1 pont)

u_max = 2.4124

 figure(1)
 step(T)
 grid
 
 figure(2)
 step(Uz)
 grid

http://i.imgur.com/aYqf7A8.png

http://i.imgur.com/HXN3ECv.png

---

V. 4. Egy irányítandó szakasz átviteli függvénye: P(s)=1/((1+5*s)^2). A szakaszt T_s=1 sec mintavételi idővel mintavételezzük, bemenetén zérusrendű tartószervet alkalmazunk. Az alapjel követési dinamikáját előíró R_r impulzusátviteli függvény az (1/(1+3*s)) átviteli függvény mintavételezésével, a zavarelhárítást előíró R_n impulzusátviteli függvény az (1/(1+s)) átviteli függvény mintavételezéséből adódik.

a./ Adja meg a szakasz impulzusátviteli függvényét. (2 pont)

 s=zpk('s')
 P1=1/((1+5*s)*(1+5*s))
 Ts=1
 G=c2d(P1,Ts)
 z=zpk('z',Ts)

 %% G=G_+*G_-*z^(-d) =
 %  0.017523 (z+0.8752)
 %  -------------------
 %     (z-0.8187)^2

b./ Adja meg a szakasz G=( G_+*G_-*z^(-d) ) felbontását. (1 pont)

 Gm=(z+0.8752)/z
 Gm=Gm/dcgain(Gm)
 Gp=minreal(G/Gm, 0.001)

 %  G_- = 
 %  0.53328 (z+0.8752)
 %  ------------------
 %          z

 %  G_+ = 
 %   0.032859 z
 %  ------------
 %  (z-0.8187)^2

c./ Adja meg a Q Youla paramétert és a C szabályozót. (2 pont)

 Rr=c2d( 1/(1+3*s), Ts)
 Rn=c2d( 1/(1+s), Ts)
 Q=minreal(Rn/Gp)
 C=minreal( Q/(1-Q*G) )
 L=minreal(C*G)
 T=minreal( (Rr/Rn)*L/(1+L) )
 Uz=minreal( (Rr/Rn)*C/(1+L) )
 umax=max(step(Uz))

 %  Q=R_n/G_+ =
 %  19.2372 (z-0.8187)^2
 %  --------------------
 %      z (z-0.3679)

 %  C=Q/(1-Q*G)=
 %  19.2372 (z-0.8187)^2
 %  --------------------
 %    (z-1) (z+0.295)

d./ Vázolja fel minőségileg helyesen egységugrás alapjelre a kimenőjel lefolyását. (1 pont)

 figure(1)
 step(T)
 grid

http://i.imgur.com/X8pVnkB.png

---