„Algoritmuselmélet - ZH, 2013.04.03.” változatai közötti eltérés
a (Hryghr átnevezte a(z) Algoritmuselmélet 2013.04.03. ZH megoldásai lapot a következő névre: Algoritmuselmélet - ZH, 2013.04.03.) |
|
(Nincs különbség)
| |
A lap 2013. június 13., 23:18-kori változata
2013.04.03. ZH megoldásai
1. Feladat
TODO
2. Feladat (Van megoldás)
Egy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A[i,j] } Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n} x Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n} -es táblázat minden mezőjében egy egész szám van írva (nem feltétlenül csak pozitívak). Adjon Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(n^2) } lépésszámú algoritmust, ami eldönti, hogy melyik az a téglalap alakú része a táblázatnak, melynek bal felső sarka egybe esik a nagy táblázat bal felső sarkával és benne az elemek összege az egyik legnagyobb.
(Vagyis olyan Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k, l} -t keresünk, amire Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sum_{i \leq k, j \leq l}A[i,j] } maximális.)
- Ahogy az többször is segít, úgy most is, hogy felrajzolunk magunknak egy 3x3, vagy 4x4-es táblázatot, és nézegetjük, hogyan kéne dolgozni...
- A feladatban 1-1 lépésnek vettem:
- 1 művelet (Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle +,- } ) elvégzését (vagyis a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle B[i,j]=B[i-1,j]+B[i,j-1]+A[i,j]-B[i-1,j-1] } 3 lépés).
- 1 értéke beírása a cellába.
- 1 összehasonlítás (és esetleges cserék).
3. Feladat (Van megoldás)
Kaphatjuk-e az 1,7,3,6,11,15,22,17,14,12,9 számsorozatot úgy, hogy egy (a szokásos rendezést használó) bináris keresőfában tárolt elemeket posztorder sorrendben kiolvasunk?
- Szokásos rendezést használó bináris keresőfa: Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle bal(x) < x < jobb(x)}
- Postorder:
- Rekurzívan Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle bal(x) \rightarrow jobb(x) \rightarrow x } . Magyarul előbb meglátogatja a gyökérnél kisebbeket, utána a nagyobbakat, és ezután jön csak a gyökér.
- Egyik fontos tulajdonsága, hogy a gyökér az mindig a (figyelt) lista végén van.
- Az 1. sorban a 9 lesz a gyökér. Felrajzoljuk a 9-t gyökérnek. (Bal oldalt lesz a hiba, de gyakorlásképp nézzük inkább a jobb oldalt.)
- A 2. sorban a 12 lesz a gyökér, így a 12-est felrajzoljuk a 9-es jobb fiának. Nála csak a 11 a kisebb (a vizsgált listában), így a 11-t berajzoljuk a 12 bal fiának.
- A 3. sorban 14 lesz a gyökér, így a 14-est felrajzoljuk a 12-es jobb fiának.
- A 4. sorban a 17 lesz a gyökér, így ez a 14-es jobb fia lesz. A 15 és 22 pedig értelemszerűen a bal, és jobb fia lesz 17-nek.
- Az 5. sorban a gyökér a 6 lesz, így azt berajzoljuk a 9-es bal fiának. És itt látszik is, hogy hiba van, hiszen Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle < > < } sorrend van, ebből következik, hogy ilyen fa nem létezhet.
4. Feladat (Van megoldás)
Adjacencia-mátrixával adott Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n} csúcsú, irányított gráfként ismerjük egy város úthálózatát. El szeretnék jutni Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A} pontból Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle B} pontba, de sajnos minden csomóponthoz várnunk kell a nagy hóesés miatt, a várakozás hossza minden csomópontra ismert és független attól, hogy merre akarunk továbbmenni. Adjon algoritmust, ami Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(n^2)} lépésben eldönti, hogy merre menjünk, hogy a lehető legkevesebbet kelljen várni összességében. (A csomópontok közötti utak hosszának megtétele a várakozáshoz képest elhanyagolható időbe telik, tekintsük 0-nak. Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A} -ban és Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle B} -ben nem kell várakozni.)
- A "probléma", hogy a csúcsoknak van súlya (ill. az éleknek is van, de az 0), amivel nem igen tudunk mit kezdeni. De nem hiába volt BSZ1 (vagy BSZ2?), ahol megtanultuk, hogy könnyedén csinálhatunk a csúcssúlyból élsúlyt.
- Az adott pontot (X) lecseréljük 2 pontra (X1, X2). Ami eddig X-be ment, az menjen X1-be, és ami X-ből ment, az menjen X2-ből. (Vagyis X1-ből csak X2-be megy él, és X2-be csak az X1 megy.)
- A 2 pontot összekötjük, a köztük menő élsúly pedig az X pont súlya lesz.
- Csináljuk hát ezt ezzel a gráffal:
- Az eredeti Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n } csúcsú G gráfból csinálunk így egy F gráfot, melyben Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2n } csúcs lesz (és az élszám is n-nel nő, de ez most minket annyira nem izgat).
- Ebben az F gráfban kell megtalálni a legrövidebb utat egy "X2"-ből egy "Y1"-be.
- A Dijkstra-algoritmus Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(n^2) } lépésben keres legrövidebb utat, ebben az esetben Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O((2n)^2)=4O(n^2)=O(n^2)} .
- Így a feladat ezzel meg is oldva.
5. Feladat
TODO
6. Feladat
TODO
7. Feladat (Van megoldás)
Az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A[1 \dots 2013]} tömbben egy kupac adatstruktúrát tárolunk, minden tárolt elem különböző. Tudjuk, hogy ebben a kupacban a legnagyobb elem Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A[i]} . Határozza meg Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i } összes lehetséges értékét!
- Kupac egyik jó tulajdonsága, hogy teljes bináris fa, így az elem számból kiszámolható, hogy milyen magas a fa.
- Tudjuk, hogy :Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2^{m-1} \leq n \leq 2^{m}-1} .
- Ebben az esetben Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2^{m-1} \leq 2013 \leq 2^{m}-1 \Rightarrow m = 11} .
- A legnagyobb elem vagy a legalsó szinten van, vagy ha az nem "telített", akkor az előtte lévő szinten olyan csúcsok is szóba jöhetnek, akiknek nincsen gyereke.
- Mivel tudjuk, hogy a fa magassága 11, ezért:
- A kupacban összesen 2047 elemnek van hely, tehát még 34 elem férne el. Ebből pedig az következik, hogy a 10. szinten 17 olyan csúcs van, aminek nincsen fia, így ők még játszhatnak a legnehezebb elem díjáért.
- A 11. szinten 1024 elem férne el, de tudjuk, hogy hiányzik 34, tehát a 11. szinten csak 990 elem van, amik a legnehezebbek lehetnek a fában.
- Mivel tudjuk, hogy a fa magassága 11, ezért:
- Ha a kupacot tömbbe írjuk, akkor azt fentről-lefele, balról-jobbra töltjük fel.
- Az előzőek alapján tudjuk, hogy a 11. szinten 990, a 10. szinten pedig 17 csúcs jöhet szóba, így összesen 1007 helyen lehet a legnehezebb elem. A tömbös elrendezés alapján ez azt jelenti, hogy az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i \geq (2013-1007+1) \Rightarrow i \geq 1007} .
- Avagy bebizonyítható, hogy a legnagyobb elem az az utolsó Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil } helyen állhat.
8. Feladat (Van megoldás)
(a) Igaz-e, hogy egy piros-fekete fa tetszőleges belső fekete csúcshoz tartozó részfa (az a részfa, aminek ez a fekete csúcs a gyökere) is egy piros-fekete fa?
(b) Igaz-e ugyanez egy tetszőleges belső piros csúcshoz tartozó részfára?
- Avagy mitől is piros-fekete egy piros-fekete fa?
- Minden nem levél csúcsnak 2 fia van.
- Elemeket belső csúcsban tárolunk.
- teljesül a keresőfa tulajdonság.
- A fa minden csúcsa piros, vagy fekete.
- A gyökér fekete.
- A levelek feketék.
- Minden piros csúcs mindkét gyereke fekete.
- Minden v csúcsra igaz, hogy az összes v-ből levélbe vezető úton ugyanannyi fekete csúcs van (~fekete magasság).
a) Igaz-e, hogy egy piros-fekete fa tetszőleges belső fekete csúcshoz tartozó részfa (az a részfa, aminek ez a fekete csúcs a gyökere) is egy piros-fekete fa?
- Igaz. (Nem tudom, mennyi magyarázatot, vagy milyen indoklást várnak ide, de a piros-fekete tulajdonságai közül talán csak a fekete magasság szorul magyarázatra (...), a többi elég triviális.)
- Ha a részgráfra nem állna fenn a fekete magasság kritériuma, akkor pláne nem fog a teljes gráfra teljesülni, hiszen hiába jó a fekete magasság a pontig, ha a pont tönkre teszi azt :/.
b) Igaz-e ugyanez egy tetszőleges belső piros csúcshoz tartozó részfára?
- Nem. A gyökérnek feketének kell lennie.
