Matematika A3 villamosmérnököknek - Vizsga, 2006.06.02. forrásának megtekintése

{{Vissza|Matematika A3 villamosmérnököknek}}

__NOTOC__

''Dr. Andai Attila'' által összeállított feladatsor.

==1. feladat==

Oldja meg a komplex számok körében a <math>\sinh z = i </math> egyenletet. ''(15p)''
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=<math>\sinh z = i</math> <br>
<math>\sinh z = \sinh{x} \cos{y} + i \cosh{c} \sin{y} = i</math> <br>
Ebből következik:
* <math>\sinh{x} \cos{y} = 0</math>, ami <math>x = 0</math> vagy <math>y = \frac{\pi}{2} + k2\pi</math> számpárokra teljesül
* <math>\cosh{x} \sin{y} = 1</math>, ami szintén a fenti számpárokra teljesül
tehát <math>z= 0 + i (\frac{\pi}{2} + k2\pi), k\in\mathbb{Z}</math>.
}}

==2. feladat==
Mutassa meg, hogy az <math> u(x,y) = e^{-y}\sin x </math> függvény harmonikus , és keresse meg azt a <math>v(x,y)</math> harmonikus társat, amelynél az <math> f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)</math> függvényre  <math>f(0)=0</math> teljesül. ''(15p)''
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=TODO
}}
==3. feladat==
Tekintsük a 
<math>V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 |y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2  + y^2  + z^2  \leqslant 9} \right\}</math> térrészt és az <math>f=(x,y,z) = xy^2z</math> függvényt.  Számolja ki a <math>
\int\limits_{V} f </math> térfogati integrált ''(20p)''
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=A 
<math>V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 |y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2  + y^2  + z^2  \leqslant 9} \right\}</math> térrész egy 3 sugarú negyed körcikk és belseje. Gömbi koordinátákkal felírva:
<math>
V = \left\{ {(r,\varphi ,\vartheta ) \in \mathbb{R}^3 |0 \leqslant r \leqslant 3,0\leqslant \varphi  \leqslant \pi,0 \leqslant \vartheta  \leqslant \frac{\pi }{2}} \right\}
</math>

Az <math>f</math> függvény gömbi koordinátákkal:
<math>
f(x,y,z) = xy^2 z = (r\sin \vartheta \cos \varphi )(r\sin \vartheta \sin \varphi )^2 (r\cos \vartheta )
</math>

ezzel a térrészen vett integrál:

<math>
\begin{gathered}
  \int\limits_V f  = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta  = 0}^{\frac{\pi }
{2}} {\int\limits_{\varphi  = 0}^\pi  {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \sin ^2 \varphi \cos \varphi  \cdot d\varphi } d\vartheta dr} }  \hfill \\
	= \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta  = 0}^{\frac{\pi }
{2}} {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \left[ {\frac{{\sin ^3 \varphi }}
{3}} \right]_{\varphi  = 0}^\pi  d\vartheta dr} }  =  0  \hfill \\ 
\end{gathered} 
</math>
}} 
==4. feladat==
Oldja meg az
<math>
y''(x) + 3y'(x) + 2y(x) = 1 + e^{ - x} 
</math>
differenciálegyenletet. ''(15p)''
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=Először a tekintsük a homogén egyenletet:

<math>y'' + 3y' + 2y = 0</math>

A diffegyenlet karakterisztikus polinomja:

<math>m^{2} + 3m + 2 = 0</math>

<math>(m+1)(m+2)=0 \rightarrow m_{1}=-1; m_{2}=-2</math>

Ebböl a homogén egyenlet általános megoldása:

<math>y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}</math>

Tekintsük most az inhomogén egyenletet.
Mivel a homogén megoldásban és a gerjesztő függvényben is szerepel e^(-x) alakú tag,
a megoldást a következő formában kell keresnünk:

<math>y(x)=Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D</math>

A feladat tehát az A,B,C,D konstansok meghatározása.
Fejezzük ki y'-t és y''-t:

<math>y'=-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2Ce^{-2x}</math>

<math>y"=Axe^{-x}-2*Ae^{-x}+4Ce^{-2x}</math>

Helyettesítsünk vissza az inhomogén egyenletbe!

<math>[Axe^{-x}-2Ae^{-x}+4Ce^{-2x}]+3[-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2*Ce^{-2x}]									 +2[Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D]=1+e^{-x}</math>

összevonva az azonos kitevőjű tagokat:

<math>2D+Ae^{-x} = 1+e^{-x}</math>

d/dx:

<math>-Ae^{-x}=-e^{-x} \rightarrow A=1</math>

x=0-t behelyettesítve az előző előtti egyenletbe:

<math>2D=1 \rightarrow D=1/2</math>

Mivel B és C kiesik ezért B,C bármely valós szám lehet.

Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:

<math>y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5</math>
}}
==5. feladat==
A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az <math>f(z) = \bar z z^2</math> függvény ? ''(15p)''
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=TODO
}}
==6. feladat==
Oldja meg az
<math>
\left\{ \begin{gathered}
  \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\
  \dot x_2 (t) =  - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
</math>
differenciálegyenlet-rendszert az <math>x_1 (0) = 1,x_2 (0) = 0</math> kezdeti feltételek mellett.  ''(20p)''
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=<math>
\left\{ \begin{gathered}
  \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\
  \dot x_2 (t) =  - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
</math>
Az első egyenletetből <math>x_2</math>:

<math>x_2  = x_1  - \dot x_1</math> , amiből <math>\dot x_2  = \dot x_1  - \ddot x_1</math>

így a második egyenlet kifejezhető <math>x_1</math>-nek és deriváltjainak segítségével.
}}

[[Kategória:Villamosmérnök]]