Jelek és rendszerek - ZH2 2006.04.20. forrásának megtekintése

{{vissza|Jelek és rendszerek}}

==A csoport==
===Nagykérdés===
Adottak:

<math>H(e^{j\omega})=?</math>

<math>u[0]=2, u[1]=1, u[2]=2, u[3]=0, u[k+4]=u[k]</math>

(aki tudja, az eredeti feladatban mi szerepelt a kérdőjelek helyén, beírhatná...)

# Határozza meg az átviteli tényezőket <math>0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi</math> körfrekvenciákra!
# Adja meg a gerjesztő jel komplex Fourier-együtthatóját!
# Adja meg a gerjesztő jel valós Fourier-sorát!
# Írja föl a rendszer <math>y[k]</math> válaszának időfüggvényét!

===Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)===
# Adja meg a <math>x(t)=5\sin(\omega t-\frac{\pi}{4})</math> jel komplex amplitúdóját!<p>Megoldás:<br><math>\overline X=3\cdot e^{-j\frac{\pi}{ ? 2 ? }}</math></p><br><p>Megoldás3:<br><math>\overline X=5\cdot e^{-j\frac{3\pi}{ 4 }}</math> , mert: <math>5sin(\omega t - \frac{\pi}{4}) = 5cos(\omega t - \frac{3\pi}{4}) \rightarrow 5\cdot e^{-j\frac{3\pi}{4}}</math></br> (-- [[CseWiki|csé]] - 2007.05.15.)</p><br>
# Határozza meg a <math>H(j\omega)=\frac{5}{j\omega+2}</math> átviteli karakterisztikájú rendszer sávszélességét. <math>\epsilon=1</math> ... <p>Megoldás:<br><math>\Delta \omega=2</math><br>Rendszer sávszélessége alatt az áteresztő tartomány szélességét értjük. Áteresztő tartomány ha |H(j*omega)||>=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) omega eleme [omegaa, omegab] az látszik hogy a fenti átviteli karakterisztikának omega=0-nál van a maximuma ami 2,5. Ezután már csak a tartomány másik végét kell megtalálni. Ehhez a következő egyenlőséget kell megoldani: ||H(j*omega)=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) komplex tört abszolút értéke a számláló abszolút értéke/nevező abszolút értéke. A számlálóé 5. a nevezőé gyök(valósrésznégyzet+képzetesrésznégyzet)=gyök(omeganégyzet+4). tehát: 5/gyök(omeganégyzet+4)=2,5/gyök2 Ebből omegára +/-2 adódik. Tehát a rendszer sávszélessége kettő.<br>A megoldás levlistáról By Wittek Ádám (utólagos engedelmeddel az utókornak)-- [[SteinbachAntalBalint|banti]]</p><br>
# Adja meg a <math>x(t)=\epsilon(t+T/2)-\epsilon(t-T/2)</math> folytonos idejű, páros jel spektrumának képzetes részét!<p>Megoldás:<br><math>Im\{X(j\omega)\}=0</math> , mert az x(t) fv páros, így csak valós összetevője van.</p><br>
# Adja meg a <math>x(t)=1+5\cos(\omega t-1.73)+2\cos(3\omega t)</math> jel teljesítményét!<p>Megoldás:<br><math>P_x=15.5</math></p><br>
# Az <math>x(t)</math> folytonos idejű jel sávkorlátozott és sávkorlátja <math>\omega</math>. Fejezze ki ezt matematikai alakban!<p>Megoldás:<br><math>X(j\omega)=0</math>, ha <math>\left|{\omega}\right|>\Omega</math></p><br>

==B csoport==
===Nagykérdés===
Egy FI rendszer impulzusválasza: <math>h(t)=2\delta(t) + \epsilon(t)(5e^{-2t}-3e^{-4t})</math>,
gerjesztése: <math>10+5\cos(\omega t-0.8)</math>, a körfrekvencia: <math>\omega=3.2</math>

'''a. Határozza meg a rendszer átviteli karakterisztikáját, és adja meg normálalakban, rendezett polinomok hányadosaként! (3 pont)'''

Megoldás: <br> <math>H(j\omega)=2+\frac{5}{j\omega+2}-\frac{3}{j\omega+4}=\frac{2(j\omega)^2+14j\omega+30}{(j\omega)^2+6j\omega+8}</math><br>

'''b. Adja meg a gerjesztő jel középértékét és effektív értékét! (2 pont)'''

Megoldás:<br>
A gerjesztés a 3.1-69 képletnek megfelelően van megadva:
<math>
\begin{array}{*{20}c}
	{x(t) = X_0  + \sum\limits_{p = 1}^\infty  {X_p \cos (p\Omega t + \xi _p )} } & , & {\Omega  = \frac{{2\pi }}{T}}  \\
\end{array}
</math>
Teljesítmény a 3.1-73 képlet szerint:
<math>
P_x  = X_0^2  + \frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^\infty  {X_p^2 } 
</math>
Ennek négyzetgyöke lesz az effektív érték:
<math>
U_{eff}  = \sqrt {X_0^2  + \frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^\infty  {X_p^2 } }  = \sqrt {X_0 ^2  + \frac{1}{2}X_1 ^2 }  = \sqrt {10^2  + \frac{1}{2}5^2 } 
</math>


<math>U_0=10</math> <br> <math>U_eff=\sqrt{100+\frac{25}{2}}=10.607</math><br>


'''c. Határozza meg a rendszer átviteli tényezőjét a megadott <math>\omega</math> körfrekvencián! (2 pont)'''

Megoldás: <br> <math>H(j3.2)=2.245-j0.758=2.369e^{-j0,326}</math><br>

'''d. Számítsa ki a rendszer <math>y(t)</math> válaszának időfüggvényét! (3 pont)'''

Megoldás: <br> <math>H(0)=3.75</math> <br> <math>y(t)=37.5+11.849\cos(\omega t-1.126)</math>

===Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)===
'''1. Az x[k] DI szinuszos jel komplex amplitúdója <math>\overline X = 2e^{^{j\frac{\pi }{3}} }</math>, körfrekvenciája <math>\vartheta  = \frac{\pi }{2}</math>. Adja meg az <math>y[k]=x[k-1]</math> jel komplex amplitúdóját!'''

Megoldás:<br><math>\left|{\overline Y}\right|=2 \cdot e^{-j\frac{\pi}{6}}=2 \cdot e^{-j0.524}</math><br>

'''2. Fogalmazza meg matematika alakban a torzításmentes jelátvitel kritériumát a folytonos idejű rendszer gerjesztés-válasz kapcsolatára vonatkozóan, az időtartományban!'''

Megoldás:<br><math>y(t)=K \cdot u(t-T)</math><br>

'''3. Egy FI idejű rendszer átviteli tényezője adott körfrekvencián <math>\overline H  = 0.73e^{ - j1.05}</math>. Adja  meg a rendszer erősítését ugyanezen a körfrekvencián decibel [dB] egységben!'''

Megoldás:<br><math>20\lg\left|{\overline H}\right|=-2.73 dB</math></br>

'''4. Legfeljebb hány körfrekvenciájú harmónikus összetevőt tartalmazhat az L=6 periódusú diszkrét idejű jel valós Fourier sora? Sorolja fel ezen összetevők körfrekvenciáit!'''

Megoldás:<br><math>\vartheta 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi</math><br>

'''5. Egy folytonos idejű rendszer ugrásválaszának spektruma <math>G(j\omega)</math>. Írja fel ennek ismeretében a rendszer átviteli karakterisztikáját!'''

Megoldás:<br><math>H(j\omega)=j\omega\cdot G(j\omega)</math><br>

[[Kategória:Mérnök informatikus]]