2006. 03. 30. kis ZH (A csoport) forrásának megtekintése

{{GlobalTemplate|Infoszak|HHAMkZH20060330}}


----
Egy rendszer kettő soros, független fokozatból áll. Az első és a második fokozat is melegtartalékolt, a <math>\lambda_a</math> meghibásodási tényezőjű első fokozat három, a <math>\lambda_b</math>-s második fokozat pedig 2 egységgel. (Tartalékkal együtt!)

==1. kérdéscsoport:==
# Írja fel a rendszer r(t) függvényét!
# Adja meg a rendszer MTFF<sub>e</sub> értékét, ha ismert, hogy <math>$ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda} $</math>
# Adja meg a <math>\lim_{t\rightarrow 0} \lambda(t)</math> és a <math>\lim_{t\rightarrow \infty} \lambda(t)</math> értéket
----
===Megoldás===
Rajz:

<div style="text-align: center;">
{{InLineImageLink|Infoszak|HHAMkZH20060330|2008_05_19_hham1.png}}
</div>
====a) r(t) függvény értéke====
* <math>r_a = e^{-\lambda_a t}</math>
* <math>r_b = e^{-\lambda_b t}</math>

Az r(t) értéke ezek alapján:

<math> r(t) = (1 - (1 - r_a)^3)(1 - (1 - r_b)^2) = </math>

<math>= (1 - (1 - 3r_a + 3r_a^2 - r_a^3)) (1 - (1-2r_b+r_b^2)) =</math>

<math>= (3r_a - 3r_a^2 + r_a^3)(2r_b - r_b^2) =</math>

<math>= 6r_a r_b - 6 r_a^2 r_b + 2 r_a^3 r_b - 3 r_a r_b^2 + 3 r_a^2 r_b^2 - r_a^3 r_b^2 =</math>

<math>= 6e^{-(\lambda_a + \lambda_b)t} - 3 e^{-(\lambda_a + 2\lambda_b)t} - 6 e^{-(2\lambda_a + \lambda_b)t} + 3 e^{-(2\lambda_a + 2\lambda_b)t} + 2 e^{-(3\lambda_a + \lambda_b)t} - e^{-(3\lambda_a + 2\lambda_b)t}</math>

====b) Az MTFF<sub>e</sub> értéke====
<math>$ MTTF = \int\limits_0^{\infty} r(t) dt = $</math>

<math>$ = 
\frac{6}{\lambda_a + \lambda_b} +
\frac{-3}{\lambda_a + 2\lambda_b} +
\frac{-6}{2\lambda_a + \lambda_b} +
\frac{3}{2\lambda_a + 2\lambda_b} +
\frac{2}{3\lambda_a + \lambda_b} +
\frac{-1}{3\lambda_a + 2\lambda_b}
$</math>

====c) A határértékek====

<math>$ \lim\limits_{t\rightarrow 0} \lambda(t) = 0 $</math>

<math>$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} \lambda(t) = \lambda_a + \lambda_b $</math>
==2. kérdéscsoport:==
# Adja meg a rendszer r(t) függvényét a vágatmeghatározáson alapuló módszerrel!
# Mutassa meg, hogy az eredmény azonos a teljes valószínűség tétel alkalmazásán alapuló módszerrel előállítható eredménnyel!
----
===Megoldás===
Megfeleltetések párhuzamos esetben:

<math>$ q(t) = q_a^2 = (1 - r_a)^2 $</math>

<math>$ r(t) = 1 - q_a^2 = 1 - (1 - r_a)^2 $</math>

Megfeleltetések soros esetben:

<math>$ r(t) = r_b \cdot r_b = (1-q_b)(1-q_b) $</math>

<math>$ q(t) = 1 - r_b \cdot r_b = 1 - (1 - q_b)^2 $</math>

====a) Megoldás vágat módszerrel====

<math>$ q(t) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_4 \cdot q_5 - q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 \cdot q_5 $</math>


<math>$ q(t) = q_a \cdot q_a \cdot q_a + q_b \cdot q_b - q_a^3 \cdot q_b^2 $</math>


<math>$ r(t) = 1 - q(t) = 1 - (q_a^3 + q_b^2 - q_a^3 \cdot q_b^2) = $</math>


<math>$ = 1 - ((1-r_a)^3 + (1-r_b)^2 - (1-r_a)^3 \cdot (1-r_b)^2) = $</math>


<math>$ \dots $</math>

====b) Teljes valószínűség módszerével====
Azt feltételezzük, hogy a második komponens egyik egysége kiesik. Ezt felírva:

<math>$ P(X_R \in U | X_4 \in U) = (1 - q_1 \cdot q_2 \cdot q_3) \cdot r_4 $</math>

<math>$ P(X_R \in U | X_4 \in D) = r_5(1 - (1 - r_a)^3 \cdot (1- r_4)$</math>

<math>$ r(t) = (1-(1-r_a)^3)r_b + (1-(1-r_a)^3)r_b(1-r_b) $</math>

==3. kérdéscsoport: Tegyük fel, hogy valamennyi egységet egymástól függetlenül javítják, egységenként rendre <math>\mu_a</math> és <math>\mu_b</math> javítási intenzitással.==
# Adja meg a rendszer készenléti tényezőjét (A) általánosan!
# Hogyan változna a jellemző, ha a függetlenség csak a fokozatokra és nem az egységekre állna fenn, mindkét fokozatot csak akkor javítanák, ha az teljesen meghibásodott, és akkor egyetlen <math>\mu_a</math> vagy <math>\mu_b</math> paraméterű javítással az adott fokozatot teljesen helyreállítanák?
----
===Megoldás===


====a)====
A komponensekre:

<math>$ A_1 = 1 - (1 - A_a)^3 $</math>

<math>$ A_2 = 1 - (1 - A_b)^2 $</math>

A soros rendszerre:

<math>$ A = A_1 \cdot A_2 $</math>

Általános képletek:

<math>$ A = \frac{MUT}{MUT + MTD} $</math>

<math>$ MUT = \frac{1}{\lambda_a} $</math>

<math>$ MDT = \frac{1}{\mu} $</math>

Mivel a komponensek egységei egymástól független hibásodnak meg:

<math>$ A_a = \frac{\mu_a}{\mu_a + \lambda_a} $</math>

<math>$ A_b = \frac{\mu_b}{\mu_b + \lambda_b} $</math>

Ebből következik, hogy:

<math>$ A = \left[ \frac{\mu_a}{\mu_a + \lambda_a} \right] \cdot \left[ \frac{\mu_b}{\mu_b + \lambda_b} \right]$</math>


====b)====
Általános képlet:

<math>$ MUT = \frac{1}{\lambda}\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}  $</math>

Komponensenként:

<math>$ MUT_a = \frac{1}{\lambda_a}\sum\limits_{k=1}^{3} \frac{1}{k} = \frac{6}{11\lambda_a} $</math>

<math>$ MUT_b = \frac{1}{\lambda_b}\sum\limits_{k=1}^{2} \frac{1}{k} = \frac{3}{2\lambda_b} $</math>

A továbbiakban az előző feladathoz hasonlóan történik a számítás.
----
----
----

=2006. 03. 30. kis ZH (B csoport)=
Egy rendszer kettő soros, független fokozatból áll. Az első fokozat redundanciamentes, <math>\lambda_1</math> meghibásodási tényezővel, a második három egységes (Tartalékkal együtt!) melegtartalékolt, egységenként <math>\lambda_2</math> meghibásodási tényezővel.


==1. kérdéscsoport:==
# Írja fel a rendszer r(t) függvényét!
# Adja meg a rendszer MTFF<sub>e</sub> értékét, ha ismert, hogy <math>$ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda} $</math>
# Adja meg a <math>\lim_{t\rightarrow 0} \lambda(t)</math> és a <math>\lim_{t\rightarrow \infty} \lambda(t)</math> értéket
----
===Megoldás===
<div style="text-align: center;">
	 {{InLineImageLink|Infoszak|HHAMkZH20060330|2008_05_19_hham2.png}}
</div>

====a) r(t) függvény====
<math>$ r(t) = (1 - (1 - r_1)) (1 - (1 - r_2)^3) =  $</math>

<math>$ = r_1(3r_2 - 3r_2^2 + r_2^3) =  $</math>

<math>$ = e^{-(\lambda_1 + 3\lambda_2)t} - 3 e^{-(\lambda_1 + 2\lambda_2)t} + 3 e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)t} $</math>

====b) MTFF====
<math>$ MTTF = \int\limits_0^{\infty} r(t) dt = $</math>

<math>$ = 
\frac{1}{\lambda_1 + 3\lambda_2} +
\frac{-3}{\lambda_1 + 2\lambda_2} +
\frac{3}{\lambda_1 + \lambda_2}
$</math>

====c) A határétékek====
<math>$ \lim\limits_{t\rightarrow 0} \lambda(t) = \lambda_1 $</math>

<math>$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} \lambda(t) = \lambda_1 + \lambda_2 $</math>

==2. kérdéscsoport:==
# Adja meg a rendszer r(t) függvényét az útmeghatározáson alapuló módszerrel!
# Mutassa meg, hogy az eredmény azonos az eseményfa elemzésen alapuló módszerrel előállítható eredménnyel!
----
===Megoldás===
====a)====
Lehetséges utak a hálózatban:
* s<sub>1</sub> = (1,2)
* s<sub>2</sub> = (1,3)
* s<sub>3</sub> = (1,4)

Az r(t) ezek alapján:

<math>$ r(t) = s_1 + s_2 + s_3 - s_1 s_2 - s_1 s_3 - s_2 s_3 + s_1 s_2 s_3 = $</math>

<math>$ r_1 r_2^3 - 3 r_1 r_2^2 + 3 r_2 r_1 $</math>

====b)====

==3. kérdéscsoport: Tegyük fel, a rendszert <math>\mu</math> javítási rátával csak akkor javítják, ha a rendszerhiba következett be. Ekkor valamennyi még működő egységet kikapcsolják és azokban újabb hiba nem következhet be.==
# Adja meg a rendszer készenléti tényezőjét (A) általánosan!
# Adja meg a készenléti  tényező akkor, ha <math>\lambda_2 = 4 \cdot \lambda_1</math> és <math>\mu = 50 \cdot \lambda_1</math>
----
===Megoldás===

====a)====
<math>$ A = \frac{MUT}{MUT+MDT} = \frac{MTFF}{MTFF+\frac{1}{\mu}} $</math>

====b)====
Behelyettesítve...


[[Category:Infoszak]]