2006. 03. 30. kis ZH (A csoport)

A VIK Wikiből

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.



Egy rendszer kettő soros, független fokozatból áll. Az első és a második fokozat is melegtartalékolt, a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lambda_a} meghibásodási tényezőjű első fokozat három, a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lambda_b} -s második fokozat pedig 2 egységgel. (Tartalékkal együtt!)

1. kérdéscsoport:

  1. Írja fel a rendszer r(t) függvényét!
  2. Adja meg a rendszer MTFFe értékét, ha ismert, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda} $}
  3. Adja meg a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \lambda(t)} és a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty} \lambda(t)} értéket

Megoldás

Rajz:

Ezen a helyen volt linkelve a 2008_05_19_hham1.png nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

a) r(t) függvény értéke

  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle r_a = e^{-\lambda_a t}}
  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle r_b = e^{-\lambda_b t}}

Az r(t) értéke ezek alapján:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle r(t) = (1 - (1 - r_a)^3)(1 - (1 - r_b)^2) = }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle = (1 - (1 - 3r_a + 3r_a^2 - r_a^3)) (1 - (1-2r_b+r_b^2)) =}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle = (3r_a - 3r_a^2 + r_a^3)(2r_b - r_b^2) =}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle = 6r_a r_b - 6 r_a^2 r_b + 2 r_a^3 r_b - 3 r_a r_b^2 + 3 r_a^2 r_b^2 - r_a^3 r_b^2 =}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle = 6e^{-(\lambda_a + \lambda_b)t} - 3 e^{-(\lambda_a + 2\lambda_b)t} - 6 e^{-(2\lambda_a + \lambda_b)t} + 3 e^{-(2\lambda_a + 2\lambda_b)t} + 2 e^{-(3\lambda_a + \lambda_b)t} - e^{-(3\lambda_a + 2\lambda_b)t}}

b) Az MTFFe értéke

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ MTTF = \int\limits_0^{\infty} r(t) dt = $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ = \frac{6}{\lambda_a + \lambda_b} + \frac{-3}{\lambda_a + 2\lambda_b} + \frac{-6}{2\lambda_a + \lambda_b} + \frac{3}{2\lambda_a + 2\lambda_b} + \frac{2}{3\lambda_a + \lambda_b} + \frac{-1}{3\lambda_a + 2\lambda_b} $}

c) A határértékek

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ \lim\limits_{t\rightarrow 0} \lambda(t) = 0 $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} \lambda(t) = \lambda_a + \lambda_b $}

2. kérdéscsoport:

  1. Adja meg a rendszer r(t) függvényét a vágatmeghatározáson alapuló módszerrel!
  2. Mutassa meg, hogy az eredmény azonos a teljes valószínűség tétel alkalmazásán alapuló módszerrel előállítható eredménnyel!

Megoldás

Megfeleltetések párhuzamos esetben:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ q(t) = q_a^2 = (1 - r_a)^2 $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ r(t) = 1 - q_a^2 = 1 - (1 - r_a)^2 $}

Megfeleltetések soros esetben:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ r(t) = r_b \cdot r_b = (1-q_b)(1-q_b) $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ q(t) = 1 - r_b \cdot r_b = 1 - (1 - q_b)^2 $}

a) Megoldás vágat módszerrel

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ q(t) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_4 \cdot q_5 - q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 \cdot q_5 $}


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ q(t) = q_a \cdot q_a \cdot q_a + q_b \cdot q_b - q_a^3 \cdot q_b^2 $}


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ r(t) = 1 - q(t) = 1 - (q_a^3 + q_b^2 - q_a^3 \cdot q_b^2) = $}


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ = 1 - ((1-r_a)^3 + (1-r_b)^2 - (1-r_a)^3 \cdot (1-r_b)^2) = $}


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ \dots $}

b) Teljes valószínűség módszerével

Azt feltételezzük, hogy a második komponens egyik egysége kiesik. Ezt felírva:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ P(X_R \in U | X_4 \in U) = (1 - q_1 \cdot q_2 \cdot q_3) \cdot r_4 $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ P(X_R \in U | X_4 \in D) = r_5(1 - (1 - r_a)^3 \cdot (1- r_4)$}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ r(t) = (1-(1-r_a)^3)r_b + (1-(1-r_a)^3)r_b(1-r_b) $}

3. kérdéscsoport: Tegyük fel, hogy valamennyi egységet egymástól függetlenül javítják, egységenként rendre Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \mu_a} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \mu_b} javítási intenzitással.

  1. Adja meg a rendszer készenléti tényezőjét (A) általánosan!
  2. Hogyan változna a jellemző, ha a függetlenség csak a fokozatokra és nem az egységekre állna fenn, mindkét fokozatot csak akkor javítanák, ha az teljesen meghibásodott, és akkor egyetlen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \mu_a} vagy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \mu_b} paraméterű javítással az adott fokozatot teljesen helyreállítanák?

Megoldás

a)

A komponensekre:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ A_1 = 1 - (1 - A_a)^3 $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ A_2 = 1 - (1 - A_b)^2 $}

A soros rendszerre:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ A = A_1 \cdot A_2 $}

Általános képletek:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ A = \frac{MUT}{MUT + MTD} $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ MUT = \frac{1}{\lambda_a} $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ MDT = \frac{1}{\mu} $}

Mivel a komponensek egységei egymástól független hibásodnak meg:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ A_a = \frac{\mu_a}{\mu_a + \lambda_a} $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ A_b = \frac{\mu_b}{\mu_b + \lambda_b} $}

Ebből következik, hogy:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ A = \left[ \frac{\mu_a}{\mu_a + \lambda_a} \right] \cdot \left[ \frac{\mu_b}{\mu_b + \lambda_b} \right]$}


b)

Általános képlet:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ MUT = \frac{1}{\lambda}\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} $}

Komponensenként:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ MUT_a = \frac{1}{\lambda_a}\sum\limits_{k=1}^{3} \frac{1}{k} = \frac{6}{11\lambda_a} $}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ MUT_b = \frac{1}{\lambda_b}\sum\limits_{k=1}^{2} \frac{1}{k} = \frac{3}{2\lambda_b} $}

A továbbiakban az előző feladathoz hasonlóan történik a számítás.




2006. 03. 30. kis ZH (B csoport)

Egy rendszer kettő soros, független fokozatból áll. Az első fokozat redundanciamentes, Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lambda_1} meghibásodási tényezővel, a második három egységes (Tartalékkal együtt!) melegtartalékolt, egységenként Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lambda_2} meghibásodási tényezővel.


1. kérdéscsoport:

  1. Írja fel a rendszer r(t) függvényét!
  2. Adja meg a rendszer MTFFe értékét, ha ismert, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda} $}
  3. Adja meg a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \lambda(t)} és a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty} \lambda(t)} értéket

Megoldás

Ezen a helyen volt linkelve a 2008_05_19_hham2.png nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

a) r(t) függvény

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle $ r(t) = (1 - (1 - r_1)) (1 - (1 - r_2)^3) = $}

b) MTFF

c) A határétékek

2. kérdéscsoport:

  1. Adja meg a rendszer r(t) függvényét az útmeghatározáson alapuló módszerrel!
  2. Mutassa meg, hogy az eredmény azonos az eseményfa elemzésen alapuló módszerrel előállítható eredménnyel!

Megoldás

a)

Lehetséges utak a hálózatban:

  • s1 = (1,2)
  • s2 = (1,3)
  • s3 = (1,4)

Az r(t) ezek alapján:

b)

3. kérdéscsoport: Tegyük fel, a rendszert javítási rátával csak akkor javítják, ha a rendszerhiba következett be. Ekkor valamennyi még működő egységet kikapcsolják és azokban újabb hiba nem következhet be.

  1. Adja meg a rendszer készenléti tényezőjét (A) általánosan!
  2. Adja meg a készenléti tényező akkor, ha és

Megoldás

a)

b)

Behelyettesítve...