Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz) forrásának megtekintése

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== 1. Gyakorlat ==
=== Periodicitás vizsgálata ===
==== Diszkrét idejű jelek ====
Adott <math>y[k] = \cos(\varphi k)</math>. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:
* <math>\cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L))</math>
* <math>\varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L)</math>
* <math>2n\pi = \varphi L</math>
* <math>L = \frac{2n\pi}{\varphi}</math>

Az így kapott ''L'' értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:
* Az ''L'' egész. Örülünk, a jel periodikus.
* Az ''L'' racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az ''n''), s örülünk, a jel periodikus.
* Az ''L'' irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a <math>2n\pi = \varphi L</math> összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

===== Feladatok =====
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<math>y[k] = \cos(3k)</math>
<div class="mw-collapsible-content">
Nem. 
* <math>2n\pi = \varphi L</math>
* <math>\varphi = 3</math>
* <math>2n\pi = 3L</math>
* <math>L = \frac{2n\pi}{3}</math>
Erre semmilyen olyan ''n''-t nem tudunk mondani, hogy ''L'' egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a ''k'' <math>\pi</math> racionális többszöröse. 
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<math>y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})</math>
<div class="mw-collapsible-content">
Igen.
* <math>y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})</math>
* <math>2n\pi = \varphi L</math>
* <math>\varphi = \frac{\pi}{17}</math>
* <math>2n\pi = \frac{\pi}{17}L</math>
* <math>2 = \frac{L}{17}</math>
* <math>L = 2 \cdot 17 = 34</math>
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<math>y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})</math>
<div class="mw-collapsible-content">
Nem.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<math>y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})</math>
<div class="mw-collapsible-content">
Igen. <math>L = 38</math>
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<math>y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})</math>
<div class="mw-collapsible-content">
Nem.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<math>y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})</math>
<div class="mw-collapsible-content">
Igen. <math>L = 26</math>
</div>
</div>

==== Folytonos idejű jelek ====
Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: <math>T \in \mathbb{R}</math>.

===== Feladatok =====
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<math>y(t) = 5 \cos(2t) + 3 \sin(4t) + 10</math>
<div class="mw-collapsible-content">
Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes ''részeinek'' periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.

Az <math>y(t)</math> jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:
* 1. <math>5 \cos(2t)</math>
* 2. <math>3 \sin(4t)</math>
* 3. <math>10</math>

Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:
* <math>T_1 = \pi</math>
* <math>T_2 = \frac{\pi}{2}</math>

Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: <math>T = \pi</math>.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<math>y(t) = 4 \cos(4t) + 5 \sin(7t)</math>
<div class="mw-collapsible-content">
A fentiek alapján periodikus, periódusideje: <math>T = 2\pi</math>.
* <math>T_1 = \frac{\pi}{2}</math>
* <math>T_2 = \frac{2\pi}{7}</math>
</div>
</div>

=== Rendszer válaszának kiszámolása lépésenként ===
==== Diszkrét idejű jelek ====
Adott a <math>y[k] + 0.8y[k-1] = 3u[k] + 4u[k-1]</math> öszefüggés. Továbbá tudjuk, hogy <math>y[-1] = 5</math>, s <math>u[k] = 2\cdot\epsilon[k]</math>. Számoljuk ki az ''y'' értékeit különböző ''k'' értékekre.

Az előadásvázlatban van hasonló példa. Az egészet <math>y[k] = ... </math>-ra rendezve kapunk egy egyszerű összefüggést. Mivel tudjuk az <math>y[-1]</math>-et, így az <math>y[0]</math> triviálisan számolható. Ezek után a következő, majd a következő, majd az azt követő ''y'' érték is. Valahogy így:

{| class="wikitable"
|-
! k !! u !! y
|-
| -1 || 0 || 5
|-
| 0 || 2 || 2
|-
| 1 || 2 || 12.4
|-
| 2 || 2 || ...
|}

<small>A gyakorlaton ezt még felrajzoltuk egy grafikonra. Két dolgot jegyeztünk meg:
* A diszkrét értékeket nem kötjük össze!
* A tengelyek legyenek elnevezve!
</small>

A fenti módszer hátránya, hogyha szeretném tudni a <math>y[538]</math> értékét, akkor ahhoz ki kell számolni a <math>y[537]</math> értékét, és így tovább összes korábbi értéket is.

==== Folytonos idejű jelek ====
Folytonos idejű jelek is lehetnének hasonlóan számolhatóak, de ott a megfelelő lépésköz sokkal nehezebben meghatározható (gondolj a Taylor polinommal való közelítésre).

== 2. Gyakorlat ==
Itt nem voltam, sry. Aki akarja, pótolja nyugodtan ide

== 3. Gyakorlat ==
=== 1. feladat ===
Moriczkának 1000 pénze van. ''10%'' éves kamatra beteszi a bankba, ahol azt évente tőkésítik.
* Mennyi pénze lesz Móriczkának 1-2-3 év múlva? Számold ki kézzel!
* Rajzolj jelfolyam hálózatot.
=== 2. feladat ===
Az előadásjegyzetben pedzegetett hallgatós példa, csak más számokkal. A fent linkelt előadás-jegyzetem legelején megtalálod, nem részletezem itt.
=== 3. feladat ===
Adott az alábbi rendszer:
''<small>(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io -n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqWGNHcDE2MDkzems )</small>''
[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_gyak_03_3_jel_abra.png]]

Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát!

A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.

==== A, B, C, D mátrixok ====
<math>\underline{\underline{A}} = \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    -0.05 & -0.6
\end{bmatrix}</math>

<math>\underline{B} = \begin{bmatrix}
-2 \\ 1.5
\end{bmatrix}</math>

<math>\underline{C}^T = \begin{bmatrix} 0 & 1\end{bmatrix}</math>

<math>d = 1</math>

==== Saját értékek, Lagrange Mátrixok ====
<math>\lambda_1 = -0.1</math>

<math>\lambda_2 = -0.5</math>

<math>\underline{\underline{L_1}} = \begin{bmatrix}
1.25 & 2.5 \\
-0.125 & -0.25
\end{bmatrix}</math>

<math>\underline{\underline{L_2}} = \begin{bmatrix}
-0.25 & -2.5 \\
0.125 & 1.25
\end{bmatrix}</math>

<math>\underline{C}^T \cdot \underline{\underline{L_1}} \cdot \underline{B} = -0.125</math>

<math>\underline{C}^T \cdot \underline{\underline{L_2}} \cdot \underline{B} = 1.625</math>

==== Impulzusválasz ====
<math>h[k] = \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (-0.125 \cdot (-0.1^k) + 1.625 \cdot (-0.5^k))</math>