Matematika A3 - Magasabbrendű differenciálegyenletek forrásának megtekintése

{{GlobalTemplate|Villanyalap|MatB3Peldak8}}


%TOC{depth="2"}%

==Lineáris, homogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek==

====Definíció====

A <math> \sum_{i=0}^{n} a_i y^{(i)}(x) = a_n y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + ... + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = 0 </math> alakú egyenletek, ahol <math> a_i </math>-k konstansok, lineáris, homogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.

====A megoldás általános alakja====

Írjuk fel a ''karakterisztikus polinomot'', ami a következőképpen néz ki:

<math> \sum_{i=0}^{n} a_i \lambda^i = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + ... + a_1 \lambda + a_0 = 0 </math>

Ekkor a ''homogén, általános'' megoldásra a következő állítások igazak:
# Ha <math> \lambda_i </math> gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor <math> e^{\lambda_i x} </math> gyöke a differenciálegyenletnek.
# Ha az <math> { e^{\lambda_1 x}; e^{\lambda_2 x}; ...; e^{\lambda_n x} } </math> megoldások, akkor ezek a pontok, mint vektorok, kifeszítik a differenciálegyenlet magterét.
# A ''homogén, általános'' megoldás előáll a következő alakban:
** Ha a karakterisztikus egyenletnek _n_ darab, különböző <math> \lambda_i </math> megoldása van, akkor <math> y_{ha}(x) = \sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i x} = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} + ... + c_n e^{\lambda_n x} </math>
** Ha a karakterisztikus egyenletnek <math> \lambda_i </math> m-szeres multiplicitású gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepelnek a következő tagok: <math> e^{\lambda_i x}; x e^{\lambda_i x}; x^2 e^{\lambda_i x}; ...; x^{m-1} e^{\lambda_n x} </math>
** Ha a karakterisztikus egyenletnek <math> \lambda_i = a+jb </math> komplex gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepel az <math> e^{ax}(c_1 \cos(bx) + c_2 \sin(bx)) </math> tag, valamint szerepelnie kell továbbá a gyökök között <math> \lambda_i </math> komplex konjugáltjának is. 

==Lineáris, inhomogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek==

====Definíció====

A <math> \sum_{i=0}^{n} a_i y^{(i)}(x) = a_n y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + ... + a_0 y(x) = f(x) </math> alakú egyenletek, ahol <math> a_i </math>-k konstansok, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.

====A megoldás általános alakja====

Az inhomogén differenciálegyenlet ''inhomogén, általános'' megoldása a ''homogén, általános'' megoldás és az inhomogén egyenlet egy ''partikuláris megoldásának'' összege, vagyis:

<math> y_{ia}(x) = y_{ha}(x) + y_{ip}(x) </math>

Az <math> y_{ha} </math> megtalálása <math> f(x) = 0 </math> helyettesítéssel, majd a keletkező homogén egyenlet megoldásával történik. Az <math> y_{ip} </math> pedig az <math> f(x) </math> (_"zavarófüggvény"_) alakjában keresendő. Ebben a következő táblázat segít (<math> K </math> -k és <math> C </math> -k konstansok):

{| border="1"
|  <math> f(x) </math>  ||  <math> y_{ip} </math>  
|-
|  <math> Ke^{\alpha x} </math>  ||  <math> Ce^{\alpha x} </math>  
|-
|  <math> Kx^n </math>  ||  <math> \sum_{i=0}^n C_i x^i </math>  
|-
|  <math> K_1 \cos(ax) </math> vagy <math> K_2 \sin(bx) </math>  ||  <math> C_1 \cos(ax) + C_2 \sin(bx) </math>  
|-
|  <math> x^n e^{\alpha x} </math>  ||  <math> e^{\alpha x} \sum_{i=0}^n C_i x^i </math>  
|}

A táblázat alapján meghatározott <math> y_{ip} </math> -t helyettesítsük be az eredeti egyenletbe (értelem szerűen az _y_ helyébe), így nyerünk egy olyan egyenletet, amelyből a _C_ konstansok meghatározhatók. A következő példából világosabb lesz, hogy miről is van szó:

====Példa====

<math> y'' + 5y' + 4y = 3 - 2x - x^2 </math>

=====A homogén, általános megoldás=====

Karakterisztikus egyenlet:
<math> \lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0 </math>
<math> \Downarrow </math>
<math> \lambda_1 = -4 </math>
<math> \lambda_2 = -1 </math>
<math> \Downarrow </math>
<math> y_{ha}(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-x} </math>

=====Az inhomogén, partikuláris megoldás=====

<math> y_{ip}(x) = Ax^2 + Bx + C </math>
<math> y_{ip}'(x) = 2Ax + B </math>
<math> y_{ip}''(x) = 2A </math>

Behelyettesítve:

<math> 2A + 5(2A+B) + 4(Ax^2+Bx+C) = 3-2x-x^2 </math>

Rendezgetés után,
* <math> x^2 </math> együtthatói: <math> 4A = -1 \Rightarrow A = -\frac{1}{4} </math>
* <math> x </math> együtthatói: <math> 10A +4B = -2 \Rightarrow B = \frac{1}{8} </math>
* Konstans tag: <math> 2A + 5B + 4C = 3 \Rightarrow C = \frac{23}{32} </math>

Tehát 
<math> y_{ip}(x) = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{23}{32} </math>

=====Tehát, az inhomogén általános megoldás:=====
<math> y_{ia}(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-x} -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{23}{32} </math>


====Példa====

<math> y'' - 6y' + 13y = x + \sin(3x) </math>

=====A homogén, általános megoldás=====

Karakterisztikus egyenlet:
<math> \lambda^2 - 6\lambda + 13 = 0 </math>
<math> \Downarrow </math>
<math> \lambda_1 = 3+j2 </math>
<math> \lambda_2 = 3-j2 </math>
<math> \Downarrow </math>
<math> y_{ha}(x) = e^{3x}(c_1 \cos(2x) + c_2\sin(2x)) </math>

=====Az inhomogén, partikuláris megoldás=====

<math> y_{ip}(x) = Ax + B + C\sin(3x) + D\cos(3x) </math>
<math> y_{ip}'(x) = A + 3C\cos(3x) - 3D\sin(3x) </math>
<math> y_{ip}''(x) = -9C\sin(3x) - 9D\cos(3x) </math>

A visszahelyettesítést követően <math> A=\frac{1}{13}; B=\frac{6}{169}; C=\frac{1}{85}; D=\frac{9}{170} </math>. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:

<math> y_{ip}(x) = \frac{x}{13} + \frac{6}{169} + \frac{\sin(3x)}{85} + \frac{9\cos(3x)}{170} </math>

=====Tehát, az inhomogén általános megoldás:=====
<math> y_{ia}(x) = e^{3x}(c_1 \cos(2x) + c_2\sin(2x)) + \frac{x}{13} + \frac{6}{169} + \frac{\sin(3x)}{85} + \frac{9\cos(3x)}{170} </math>



==Rezonancia==

====Definíció====

Ha a homogén, általános megoldás egyik tagja megegyezik az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának egy tagjával.

====A megoldás általános alakja====

A próbafüggvény megfelelő tagját meg kell szorozni x-szel.

====Példa====

<math> y'' + 3y' + 2y = e^x + 2e^{3x} </math>

=====A homogén, általános megoldás=====

Karakterisztikus egyenlet:
<math> \lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0 </math>
<math> \Downarrow </math>
<math> \lambda_1 = 1 </math>
<math> \lambda_2 = 2 </math>
<math> \Downarrow </math>
<math> y_{ha}(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} </math>

=====Az inhomogén, partikuláris megoldás=====

<math> y_{ip}(x) = Ae^x + Be^{3x} </math>

Vegyük észre, hogy a homogén, általános megoldás és az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának első tagjai rezonálnak egymással! '''Mi történik, ha nem foglalkozunk a rezonanciával?'''

<math> y_{ip}(x) = Ae^x + Be^{3x} </math>
<math> y_{ip}'(x) = Ae^x + 3Be^{3x} </math>
<math> y_{ip}''(x) = Ae^x + 9Be^{3x} </math>

Behelyettesítve:

<math> Ae^x + 9Be^{3x} - 3Ae^x - 9Be^{3x} + 2Ae^x + 29Be^{3x} = e^x + 2e^{3x} </math>

Láthatjuk, hogy a bal oldalon az utolsó tag kivételével mindegyik kiesik, így nincs megoldás. '''Az inhomogén, partikuláris megoldás meghatározása helyesen:'''

<math> y_{ip}(x) = Axe^x + Be^{3x} </math>
<math> y_{ip}'(x) = A(xe^x + e^x) + 3Be^{3x} </math>
<math> y_{ip}''(x) = 2Ae^x + Axe^x + 9Be^{3x} </math>

A visszahelyettesítést követően <math> A=-1; B=1 </math>. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:

<math> y_{ip}(x) = -xe^x + e^{3x} </math>

=====Tehát, az inhomogén általános megoldás:=====
<math> y_{ia}(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} -xe^x + e^{3x} </math>


----
-- Serény György előadásai és Farkas Gergő gyakorlatai alapján írta [[KondorMate|MAKond]] - 2011.01.08.


[[Category:Villanyalap]]