SzabtechZH1Gyakorlo2008Osz

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 1. ZH-hoz

Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, letisztázni, összerendezni.

1. Fogalmazza meg az általánosított Nyquist stabilitási kritériumot.

• A Nyquist-diagramnak annyiszor kell (óramutató járásával ellenkező irányban) körbemennie a $-1+0\cdot j$ pont körül, ahány pólusa L(s)-nek van a jobb félsíkon.
• Megjegyzés: a körüljárási irány nagyon fontos. Ha L(s)-nek nincs pólusa a jobb félsíkon, akkor az egyszerűsített kritériumot kapjuk: a görbének nem szabad a $-1+0\cdot j$ pontot körbevennie.
• VIK wiki: Nyquist és Bode diagram
• Wikipédia: Nyquist stabilitási kritérium
• Wikipédia: Nyquist diagram

2. Egy folytonos szabályozási rendszerben a felnyitott kör átviteli függvénye $L(s)={\frac {5(1+0.01s)}{s(1+0.05s)}}$

• a. Adja meg a rendszer zérusait és pólusait.
• b. Vázolja fel a Bode diagram aszimptotikus amplitúdó-körfrekvencia görbéjét és a fázis-körfrekvencia görbe menetét!
• c. Tüntesse fel a Bode diagramon a fázistöbbletet!
• d. Stabilis-e a rendszer? Indokolja válaszát.
• e. Mekkora statikus hibával követi a zárt szabályozási kör az egységugrás, az egységsebességugrás illetve az egységgyorsulás alapjelet?
• a. A felnyitott kör átviteli függvényéből a rendszerét a következő képlettel kaphatjuk meg: $W(s)={\frac {L(s)}{1+L(s)}}$ (vagyis, ha $L(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}$, akkor $W(s)={\frac {A(s)}{A(s)+B(s)}}$), így ebben az esetben $W(s)={\frac {\frac {5(1+0.01s)}{s(1+0.05s)}}{1+{\frac {5(1+0.01s)}{s(1+0.05s)}}}}={\frac {5(1+0.01s)}{5(1+0.01s)+s(1+0.05s)}}={\frac {5+0.05s}{5+1.05s+0.05s^{2}}}$ illetve a szokásos alakban (a számlálóban és a nevezőben is 1 a konstans, és a tört elé ki van emelve egy konstans erősítés): $W(s)=1\cdot {\frac {1+0.01s}{1+0.21s+0.01s^{2}}}$
• A rendszer átviteli függvénye jellemzően polinom per polinom alakú. A számlálóban lévő polinom gyökei a rendszer zérusai, a nevezőben lévő polinom gyökei a rendszer pólusai. Így itt egy zérus van, s=-100, és két pólus, s=-7.3 és s=-13.7.
• Megjegyzés: lehetnek többszörös zérusok és pólusok is, de nem lehet egy érték egyszerre zérus és pólus (mert akkor lehetne egyszerűsíteni).
• b.
• VIK wiki: Nyquist és Bode diagram
• VIK wiki: Bode diagram közelítő felrajzolása
• Wikipédia: Bode amplitúdódiagram töröttvonalas közelítés
• Wikipédia: Bode fázisdiagram töröttvonalas közelítés
• c. A Bode amplitúdó- és fázisdiagramot egymás alá rajzolva, ha a vágási frekvenciánál (az a $\omega _{c}$, ahol $\left|W(j\omega _{c})\right|=1$, az erősítés pont egységnyi, illetve 0dB, vagyis az amplitúdódiagram metszi a 0dB-es vízszintes vonalat) húzunk egy függőleges vonalat át a fázisdiagramra, és bejelöljük, hogy ott mennyivel van -pi fölött a fázis, az lesz a fázistartalék (formálisan: ha arg(z) a z komplex szám szöge, akkor $\varphi _{tartalek}=\pi +arg(W(j\omega _{c})))$
• Wikipédia: amplitúdó- és fázistartalék a Bode-diagramon
• d. A rendszer akkor és csak akkor stabilis, ha minden pólusának negatív a valós része. Itt ez teljesül, tehát a rendszer stabilis.
• Wikipédia: Stabilitás
• e. Egységugrás: $\varepsilon (t)$, egységsebességugrás: $t\cdot \varepsilon (t)$, egységgyorsulásugrás: ${\frac {t^{2}}{2}}\cdot \varepsilon (t)$.
• A statikus hiba a hibajel (válaszjel mínusz alapjel) határértéke a végtelenben. Tehát pl. ha egységugrással gerjesztjük, és a rendszer válasza hosszú idő után 0.7-re áll be (az egységugrás határértéke, vagyis 1 helyett), akkor a statikus hiba 0.3.
• Ha egységsebességugrással gerjesztjük, és a rendszer 0.8-ra áll be, akkor a statikus hiba végtelen nagy, ugyanis a gerjesztőjel elszáll a végtelenbe, a válasz meg nem. Ha egységsebességugrással gerjesztjük, és a válasz a gerjesztőjel 0.7-szerese lesz nagy t-kre, akkor szintén végtelen a hiba (mert a hibajel így is a végtelenbe tart).
• A rendszer válaszának levezetése ezekre a jelekre megtalálható a feladatokat tartalmazó pdf 5.-6. oldalán (csatolva a wikilaphoz alul). Ez alapján a statikus hibák a megadott bemenetekre rendre 0, 0.2, végtelen.

3. Mi a gyökhelygörbe definíciója? Legyen egy folytonos szabályozási rendszerben a felnyitott kör átviteli függvénye: $L(s)={\frac {k(s+100)}{s(s+20)}}$ Hol van a gyökhelygörbének szakasza a valós tengelyen?

• Gyakori, hogy a felnyitott szabályozási körben van egy K erősítés, amit ha változtatunk, a lezárt kör pólusai is változnak. Ha felrajzoljuk a komplex számsíkra azokat a görbéket, amiket a pólusok bejárnak, ha pl. K-t 0-tól végtelenig minden pozitív valós számon végigfuttatunk, ezek fogják kiadni a gyökhelygörbét.
• Itt a lezárt kör átviteli függvénye $W(s)={\frac {L(s)}{L(s)+1}}={\frac {k(s+100)}{k(s+100)+s(s+20)}}$. A pólusok a $k(s+100)+s(s+20)=0$ egyenlet gyökei k függvényében. Innen k-t kifejezzük s-sel: $k={\frac {-s(s+20)}{s+100}}$. Ha egy adott s szám rajta van a gyökhelygörbén, akkor létezik olyan pozitív k (általában csak pozitív erősítéseket vizsgálunk), aminél ez az s pólus lesz. Tehát, ha kifejezzük, hogy milyen k-nál lesz egy adott s pólus, és pozitív k-t kapunk, akkor az adott s rajta van a gyökhelygörbén, egyébként nincs. A ${\frac {-s(s+20)}{s+100}}$ kifejezés -100-ban, -20-ban és 0-ban vált előjelet, -100-nál kisebb, illetve -20 és 0 közötti számokra lesz pozitív, így ezek a gyökhelygörbe szakaszai a valós tengelyen.
• ezt még letisztázni
• Wikipédia: gyökhelygörbe

4. Számítsa ki az $A=\left[{\begin{array}{rr}0&2\\-2&0\end{array}}\right],\;b=\left[{\begin{array}{rr}0\\1\end{array}}\right],\;c^{T}=\left[{\begin{array}{rr}0&1\end{array}}\right],\;d=0$ paraméter mátrixokkal adott állapotegyenletű folyamat átviteli függvényét!

• A rendszerünket leíró differenciálegyenlet-rendszer: Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \left[ \begin{array}{rr} x_1^\prime(t) \\ x_2^\prime(t) \end{array} \right]=A\cdot\left[ \begin{array}{rr} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \right]+b\cdot u(t) \]\[ y(t)=c^T\cdot\left[ \begin{array}{rr} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \right]+d\cdot u(t) } ahol u a gerjesztés, y a válasz, a két x pedig az állapotváltozók.
• Ha az egészet Laplace-transzformáljuk, (ezt megtehetjük, mert a Laplace-transzformáció lineáris), és a szokásos módon nagybetűkkel jelöljük a transzformáltakat: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \left[ \begin{array}{rr} s\cdot X_1(s) \\ s\cdot X_2(s) \end{array} \right]=A\cdot\left[ \begin{array}{rr} X_1(s) \\ X_2(s) \end{array} \right]+b\cdot U(s) \]\[ Y(s)=c^T\cdot\left[ \begin{array}{rr} X_1(s) \\ X_2(s) \end{array} \right]+d\cdot U(s) }
• Ez már egy szimpla lineáris egyenletrendszer. Kifejezve az átviteli függvényt (jelölje a 2x2-es egységmátrixot E): $H(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=c^{T}\cdot (sE-A)^{-1}\cdot b+d={\frac {s}{s^{2}+4}}$

5. Az $e^{-4s}$ átviteli függvényű holtidős tag az $u(t)=\sin(\omega _{0}t)$ szinuszos bemenőjelre állandósult állapotban $60^{\circ }$-os fáziskésleltetéssel ad választ. Határozza meg $\omega _{0}$ értékét és a kimenőjel maximális amplitúdóját!

• Az impulzusválasz (vissza-Laplace-transzformálva az átviteli függvényt): $\delta (t-4)$, vagyis a bemenetet 4-gyel késlelteti időben a rendszer. Ez alapján a kimenet: $y(t)=\sin(\omega _{0}(t-4))=\sin(\omega _{0}t-4\omega _{0})$, vagyis a fáziskésleltetés $60^{\circ }=\pi /3=4\omega _{0}\Rightarrow \omega _{0}=\pi /12$, valamint az amplitúdó értékét a rendszer nem módosítja, tehát az marad egységnyi.

6. Egy folytonos szabályozási rendszerben a felnyitott kör átviteli függvénye $L(s)={\frac {K}{(1+s)(1+5s)}}$ A negatívan visszacsatolt szabályozási körben egységnyi visszacsatolást alkalmazunk. Határozza meg K>0 azon értékét, amely mellett a zárt kör csillapítása $\xi =0.7$ lesz.

• A lezárt kör átviteli függvénye: $W(s)={\frac {K}{K+(1+s)(1+5s)}}={\frac {\frac {K}{K+1}}{1+{\frac {6}{K+1}}s+{\frac {5}{K+1}}s^{2}}}$
• Az ilyen átviteli függvénnyel rendelkező tagokat "kéttárolós lengőtagnak" hívják, mert két állapotváltozóval (energiatárolóval) írhatók le, és lengésekkel állnak be az állandósult állapotba. Az átviteli függvényük szokásos felírása: $W(s)={\frac {A}{1+2\xi Ts+T^{2}s^{2}}}={\frac {A\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}+2\xi \omega _{0}s+s^{2}}}$, ahol $\omega _{0}$ a lengés körfrekvenciája, T ennek reciproka (nem a lengés periódusideje!), A az erősítés, és $\xi$ a csillapítás.
• "Ráhúzva" ezt a jelölést a kapott átviteli függvényre (vagyis megkeresve, hogy hogyan kell megválasztani a betűket, hogy egyenlő legyen a kettő): $A={\frac {K}{K+1}},\,T^{2}={\frac {5}{K+1}},\,2\xi T={\frac {6}{K+1}}$, innen kifejezve K-t $\xi$-vel: $K={\frac {9}{5\xi ^{2}}}-1=2.67$

7. Egy folytonos szabályozási kör hatásvázlata az ábrán látható.

Ezen a helyen volt linkelve a szabtech1.gif nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

• a. Adja meg az eredő átviteli függvényeket az y kimenőjel és az r alapjel, az u beavatkozójel és az r alapjel, valamint az e hibajel és az r alapjel között.
• b. $P(s)={\frac {9}{s}},\;C(s)={\frac {1+2s}{s}}$ mellett vázolja fel a felnyitott kör közelítő Bode-diagramját (közelítő amplitúdó-körfrekvencia és fázis- körfrekvencia görbe).
• c. Stabilis-e a zárt szabályozási kör? Válaszát indokolja.
• d. Mekkora a kritikus körerősítés értéke?
• e. Mekkora statikus hibával követi a zárt szabályozási kör az egységugrás, az egységsebességugrás illetve az egységgyorsulás alapjelet?
• a. Egyszerűen fel kell írni egy egyenletet minden "dobozra" (a frekvenciatartományban mindegyik azzal szoroz, ami rá van írva), illetve a csomópontra (a két bemenet összege, illetve itt a különbsége, mert az egyik negatívan van bekötve): $U(s)=E(s)C(s),\;Y(s)=U(s)P(s),\;E(s)=R(s)-Y(s)$, innen kifejezve Y, U és E hányadosát R-rel: ${\frac {Y(s)}{R(s)}}={\frac {C(s)P(s)}{1+C(s)P(s)}},\;{\frac {U(s)}{R(s)}}={\frac {C(s)}{1+C(s)P(s)}},\;{\frac {E(s)}{R(s)}}={\frac {1}{1+C(s)P(s)}}$
• b. Lásd 2. feladatnál a Bode-diagram rajzolásához a segítséget.
• c. A rendszer akkor és csak akkor stabilis, ha a lezárt kör átviteli függvényének pólusainak valós része negatív. Itt $W(s)={\frac {Y(s)}{R(s)}}={\frac {C(s)P(s)}{1+C(s)P(s)}}={\frac {1+2s}{1+2s+{\frac {1}{9}}s^{2}}}$, a pólusok a nevező gyökei: s=-17.5 és s=-0.5, így a rendszer stabilis.
• d. A kritikus körerősítés K=0. (megjegyzés: ez elég fura, talán elrontottam valamit)
• e. A 2. feladat e. részéhez hasonlóan rendre 0, 0, 9.

8. Egy zárt szabályozási körben a felnyitott kör átviteli függvénye: $L(s)={\frac {K}{s}}e^{-sT_{h}}$ Adott $T_{h}$ holtidő mellett adja meg a K hurokerősítés azon értékét, amellyel a fázistöbblet értéke $60^{\circ }$.

9. Adja meg a folytonos PI szabályozó átviteli függvényét. Ábrázolja átmeneti függvényét és Bode diagramját.

10. Adja meg a lineáris állapotegyenlet alakját és megoldását az időtartományban.

11. Egy zárt szabályozási körben a felnyitott rendszer átviteli függvénye: $W_{o}(s)=-{\frac {5}{(1-5s)(1+s)}}$ Stabilis-e a zárt szabályozási kör? Válaszát indokolja.

12. Adja meg a kaszkád szabályozás blokk-diagramját. Mikor célszerű az alkalmazása?

13. Egy rendszer állapotmátrixai: $A=\left[{\begin{array}{rr}-1&0\\0&-3\end{array}}\right],\;b=\left[{\begin{array}{rr}5\\0\end{array}}\right],\;c^{T}=\left[{\begin{array}{rr}1&0\end{array}}\right],\;d=0$ Állapotirányítható-e, megfigyelhető-e a rendszer?

14. Adja meg az eredő átviteli függvényeket az y és r, valamint az y és z jelek között.

Ezen a helyen volt linkelve a szabtech2.gif nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

-- G - 2008.10.15.