Szabályozástechnika - Zh konzultáció

← Vissza az előző oldalra – Szabályozástechnika (info)

SzabTech Konzin elhangzott dolgok (ZH)

A bácsi beszélt a Zh menetéről:

• Mindenki az I-ben írja
• Lesz A és B csoport
• Semmi sem használható
• Stb

Majd jöttek a kérdések: Egyrészről voltak elméleti alapokat feszegető kérdések, majd pedig a kiadott mintaZh alapján oldottuk meg a feladatokat.

Elméleti dolgok:

• Mi az az omega ( mint frekvencia )? Mi a fizikai tartalma? (lsd Jelek tk)
  • A W(jω) komplex függvény azt adja meg, hogy a bementetre adott ω frekvenciájú szinusz jel mekkora amplitúdójú szinuszt ad a kimeneten (az abszolút érték az erősítés, a szög pedig a fáziscsúszás).
  • Vágási frekvencia ω_c az a freki, ahol az erősítés 1, azaz |W(jω_c) = 1 = 0dB
  • (Szemléletesen: A szabályozott rendszereknél a vágási frekvenciáig a kimenet pontosan követi a bemenetet, magasabb frekvencián egyre kevésbé. Tehát a vágási frekvencia mutatja a rendszer "sebességét", és kihat még egyéb sok jellemzőre.)
• Mi a fázistartalék, annak fizikai tartalma? ......
  • A vágási frekvencián megvizsgáljuk a fázist. Ennek távolsága a -180°-tól a fázistöbblet.
  • tk114: Nyquist kritérium: ha a felnyitott kör stabilis (nincs pólusa a jobb félsíkon), akkor a zárt rendszer stablitásának feltétele, hogy a Nyquist görbe ne vegye körül a -1 pontot.
  • A tk.120. oldalán lévő nyquist diagram jól szemlélteti a fázistöbblet jelentését. A görbe és az egységkör metszéspontja pontosan W(jω_c), mert az abszolút érték itt 1. A negatí valós tengellyel bezárt szög a fázistöbblet. Ha ez eléri a 0-t, akkor a görbe körülveszi a -1 pontot => labilissá válik a rendszer.
• Mi a ZOH?
  • Nulladrendű tartószerv: egy D/A átalakító, ami jól közelíti az ideális aluláteresztő szűrőt (legalábbis számunkra elég): a mintavételi időpontokban kapott jelet a következő mintavételi időpontig folyamatosan kiadja a kimeneten. Felírtuk az átv. ft-t is: W_ZOH = (1-e^-sT)/s
• Tustin (a legelterjedtebb bilineáris) transzformáció
  • Áttérés a z sík (diszkrét) és a w sík (folytonos) között, így az analóg tervezési módszerket használhatjuk diszkrét idejű rendszereknél.
  • Képlete *s=2/T * (z-1)/(z+1)* visszafelé z=(1+sT/2)/(1-sT/2)
  • Tulajdonságai:

1. 1. 1. az átviteli függvény racionális törtfüggvény marad.
      2. A z sík egységkörének belsejét a w sík bal oldalára képzi le. (Az 1 pont az origóba kerül, a körvonal a komplex tengely lesz)
      3. A diszkrét idejű stabilitási feltétel a z síkon megyegyezik a folytonos idejű stablitiás feltételeivel a w síkon. (Pólusok az egységkör belsejében -> a bal félsíkon)
      4. Az aszimptotikus amplitúdó jelleggörbék alkalmazhatóak.

• DI szabályozó tervezése Tustin trafó segítségével.
  • Ez egy olyan dolog, hogy van egy W(s) szakaszunk FI-ben, vagy D(Z) szakaszunk DI-ben. Ehhez kéne tervezni egy DI szabályozót.
  • Első lépés: w síkra kell áttérni. Ez úgy megy, hogy a W(s)-et először D(z)-vé alakítjuk egy c2dm('ZOH') transzformációval, majd a kapott D(Z)-ből, vagy ha eredetileg az volt megadva, akkor ugye abbol D(w)-t csinálunk a Tustin trafóval. A Tustin képlete: z=(1+w*T/2)/(1-w*T/2) ill w=(2/T)*(z-1)/(z+1). Ezt szépen beírva kapunk egy D(w)-t ami egy "majdnem" folytonos idejű szakasz a w síkon.
  • Ehhez a tanult algoritmust használva kreálunk egy PID szabályozót. Ez lesz Dc(w), ami szintén a w síkon fut. Ehhez ugye kell kb 3 egyenlet és az fsolve:
    • |Dc(j*omegac)*D(j*omegac)-1=0 azaz a vágási frekvencián az erősítés 1.
    • Pi+phi(D0(j*omegac))-phi_t=0 azaz a vágási frekvencia meghatározása
    • Dc(2/T)=Umax azaz az 1(t) gerjesztésre adott válasz esetén a beavatkozó jel maximuma a kezdeti értéknél legyen. Ez az U(0) értékben lesz (U a szabályozó kimenete) az időtartományban. U(0)=Umax. Mindezt átírva a w tartományba kapjuk a Dc(2/T) képletet.
      Megj: itt mutatkozik meg az s és a w síkok közötti eltérés: A tanultak alapján az időtartománybeli u(0) értéket a kezdeti/végérték tétel alapján számoljuk. Legyen a szabályozó bemenete az 1(t) és a kimenete az u(t).
      Ekkor ez az s síkon: lim(s->végtelen)s*U(s)=lim(s * 1/s * Wc(s))=lim(Wc(s)) (1/s a gerjesztés, azaz 1(t) Laplace trf-ja)
      Mindez a w síkon w=2/T értéknél van. ( a w=(2/T)*(z-1)/(z+1) és z->végtelen miatt. ) Azaz nem w->végtelen helyen!!
  • Ezután a Dc(w)-ből a Tustin trafó inverzével egy Dc(Z)-t készítünk, ami a DI szabályozó már.

Bode diagram aszimptotikus közelítése

Mindenkinek fel kell tudni rajzolnia a Bode diagram aszimptotikus közelítését a bácsi szerint.

A Bode diagram igazából két diagram: az amplitúdó menetben W(jω) abszolút értékét ábrázoljuk dB-ben, a fázis menetben pedig W(jω) szögét, fokban. Az x tengelyen ω van, mégpedig logaritmikus skálában. Ezért ω=0 a -∞ és ω=1 az origó.

Az aszimptótikus közelítés lényege, hogy az amplitúdó menet egy több ponton megtört egyeneshez símul hozzá. A töréspontok helyei a zérusok és a pólusok. A pólus -20dB/dekáddal meredekebbé teszi az egyenest, a zérus pedig +20dB/dekáddal lankásabbá teszi.

A kezdeti meredekséget (-∞) az ω=0-ban lévő pólusok száma határozza meg - ez pontosan a típusszám, az integrátor tagok (1/s) száma.

Az egyenes a vízszintes tengelyt az ω=K-ban metszi. (Valaki magyarázza meg!)

Kis frekvenciákon még csupán az 1/s^i -s tagot kell figyelembe venni. Erre felírva a következő képletet kapjuk:
|Wo(jω)||=||K/((jω)^i)||=K/(ω^i) A vízszintes tengelyt (0dB-es tengely) pedig ott metszi, ahol ||Wo(jω_c)=1 (0 dB), azaz K/(ω_c^i)=1 => i. gyök(K)=ω_c. Ezért i=1 típusszámú esetben ω_c=K

Erre oldottuk meg az egyik példát:
A példa kéri, így fel kell írni a felnyitott kör átviteli függvényét. Ez a racionális törtfv, amit a tk 92. old közepén van.
Meg mondtuk, hogy i jelöli a típusszámot, K pedig a körerősítés.
Ezután jött a konkrét példa. Ez ugye Wo(s)=0.1/(s(1+10s))
Ennek láthatóan 2 pólusa van, az s=0 és az s=-0.1
A diagram rajzolás esetén ezeknek az abszolút értéke érdekel minket. Mivel a kör tartalmaz 1 db (i=1) integrátort ( s=0 pólus ) ezért a diagram -20dB/dekád (-i*20) meredekséggel indul (s=0 miatt a -végtelenből a log skálán). Az egyenes a vízszintes tengelyt az ω=K-ban metszi. Itt K=0.1 a körerősítés.
Pólus esetén lefele törik -20dB/dekáddal, Zérus esetén felfele törik a grafikon. Esetünkben s=0.1 pólus, ezért ott a -20dB/dekádról -40-re változik a meredekség. Ahol a grafikon metszi a 0dB-es tengely, az az omegac vágási frekvencia.
Ebből már számítható a fázistartalék (phi-t). Ez ugye: φ_t=180+φ(W0(jω_c))=180-90-arctg(ω_c*10)=45°. (-90 mert integrátor, -arctg(ω₀*10) pedig az 1/(1+10jω) fázisa)

Állapotegyenletek felírása

Volt egy feladat, amiben egy A/s és egy 1/s tag volt sorba kapcsolva. Itt ezen nyílt kör állapotegyenletei voltak a kérdés.

A mátrixos-vektros megadási mód. Itt a konzin ezt úgy csináltuk meg, mint anno jelekből amikor JFH-os felírásokból írtuk fel az ÁE-s felírást. A kimenetekre felvettük a változókat, majd az egyenleteket felírtuk és rendeztük.

Amit tudni kell, hogy a kapott sX1 és sX2 időtartományban a deriválának felel meg.
A kapott alakokból pedig a mátrixok egyért leolvashatóak. Tehát az egyenletek:

• • X2=A/s*U => sX2=A*U
  • X1=1/s*X2 => sX1=X2
  • Y=X1

Ezzel kapcsolatban lényeges tudni, hogy amennyiben adott egy

     c1
  --------- esetén a megoldás az, hogy
   1+c2*s
                          

(c1/c2) -- - - - - - - - - - -- -> (1/s) --- - ------- -------- ---- ----- -------- ------ -------- - - - >

            /|\                         |
             |                          |
             |                          |
             - - - -       -(1/c2) <-- -

És így már a fázisváltozók (x1derivált, x2derivált) értékei összegezhetőek a folyamhálózat mentén az x1,x2,u megfelelő szorzói mellett.

Linearizálásos példa

Húh, hát ez amilyen ronda, olyan egyszerű. Ha jól hallottam, akkor ilyent (sőt lényegében ezt) mindenki megcsinálta a gyakon, így ide nem szenvedem be.

Hurwitz kritériumos feladat

Adott egy átv fv: W0(s)=K(1+saT)/(s(1+sT)2)
Ennek kell teljesítenie a stabilitási elvárásokat tetszőleges T>0 és K>0 értékre.
Erre jön az ötlet: Hurwitz kritérium! Felírjuk a KE-t. ez 1+W0(s)=0
Ezt átszorozva, 0-ra rendezve kapunk egy polinom(s)=0 egyenletet. Erre ráhúzzuk a Hurwitz sémát a könyv szerint és máris kész vagyunk. Kaptunk egy halom egyenlőtlenséget, amelyekben felhasználjuk, hogy K>0 és T>0, emiatt a-ra kijön vmi korlát, ami nekünk kell.

-- Zee - 2005.11.15. -- SzaMa - 2005.11.15. -- VGA - 2014.03.28.