Szabályozástechnika - Alapfogalmak

← Vissza az előző oldalra – Szabályozástechnika (info)

Nem tudtam lépést tartani az előadóval, és a könyv bonyolult matematikai jelöléseiben elveszek. (Talán nem vagyok egyedül.) Arra kérem a hozzáértőket, hogy röviden, világosan foglalják össze a lentebb felsoroltakat, hogy könnyebben menjen a tanulás! -- SzaMa - 2005.11.14.

• Átmeneti függvény, karakterisztika, állapotegyenletek, mátrixok stb. jelentése, kapcsolatuk, átszámítás módja
• Szabályozási kör ábrájának értelmezése, kapcsolások matematikai jelentése, nyitott és zárt kör fogalma.
• Pólus és zérus fogalma, mit jelent ez a gyakorlatban?
• Szokásos alaptagok
• stb. stb.

Függvények:

*Nyitott* rendszer átvitele (Hurokátvitel):

$L(s)=\displaystyle {\frac {Y(s)}{U(s)}}$

ha polinomok hányadosa:

$L(s)=\displaystyle {\frac {P(s)}{Q(s)}}$

*Zárt* rendszer átvitele - negatív visszacsatolásnál:

$T(s)=\displaystyle {\frac {L(s)}{1+L(s)}}=\displaystyle {\frac {Y(s)}{U(s)}}$

Karakterisztikus egyenlet:

$1+L(s)=P+Q=0$

Átviteli fv. számítása állapotteres alakból:

$H(s)=c^{T}(sI-A)^{-1}b$

Visszafelé számítani bonyolultabb, de a megoldott ZH-kban van pár ilyen példa, amik alapján vissza lehet fejteni.

-- tferi - 2010.10.18.

Jelek-Szabtech kéziszótár

Jelek		Szabtech
jelölés	elnevezés	jelölés	elnevezés
δ(t)	Dirac-delta	δ(t)	Dirac-delta
ε(t)	egységugrás	1(t)	egységugrás
h(t)	impulzusválasz	w(t)	súlyfüggvény
g(t)	ugrásválasz	v(t)	átmeneti függvény
H(s)	átviteli függvény	W(s)	átviteli függvény
H(z)	átviteli függvény	D(z)	átviteli függvény

-- Baba - 2005.11.14.

Kapcsolások, felnyitott, zárt kör

Nah, ez itt nagyon pongyola lesz. Vannak rendszerelemek, amik adott bemenő jelre adott kimenetet adnak (súlyfv, átmenetifv). Ezt a jellemzőt jó a Laplace vagy Z transzformáltjával (átviteli fv) jelölni, ugyanis ekkor két egymás utáni (sorba kötött) rendszerelem együttes átviteli fv-e a két fv szorzata. Kettő párhuzamos tag viszont egyszerűen összeadódik, mert szerencsére lineáris a transzformáció. -- SzaMa - 2005.11.17.

Szokásos alaptagok

GYK: tag = összeg részei. Nem keverendő a tényezővel, ami a szorzatalak részeit illeti. Tehát most az átviteli függvényeket részlettörtek összegeként vizsgáljuk

Az analóg (folytonos idejű) szakaszok és szabályozók átviteli függvényét részlettörtekre bontva, a következő szokásos tagok fordulgatnak elő (konstans szorzótól most eltekintve):

• $P$ Arányos tag: $1$ , egy egyszerű konstans visszacsatolás (rimembör dö konstans szorzó).
• $I$ Egyszeresen integráló tag: ${\frac {1}{s}}$ (emlékezz, hogy úgy integrálunk egy fv-t, hogy a Laplace trafóját $s$-sel osztjuk). Integráló pólus 0-ban.
• $I^{i}$ i-szeres integráló tag: ${\frac {1}{s^{i}}}$ . Integráló pólus 0-ban, multiplicitással.
• Egytárolós tag: ${\frac {1}{1+sT}}$, a $T$ neve időállandó, minél kisebb, annál gyorsabban lecsengenek a tranziensek, tehát annál jobban szeretjük egy szabályozókörben. $T$ legyen pozitív, mert ha negatív, akkor egy pozitív valós pólus van a rendszerben, amitől az instabil lesz. Pólus $-{\frac {1}{T}}$-ben.
• Kéttárolós lengő tag: ${\frac {1}{1+2\xi Ts+T^{2}s^{2}}}$, legyen $T>0,0<\xi <1$; két pólus, amelyek egymás konjugált komplex párjai. Abszolútértékük $\omega _{0}={\frac {1}{T}}$, a negatív valós tengelytől való szögeltérésük koszinusza $\xi$ (lásd gyönyörű ábra könyvben vagy füzetben).
• $D$ Egyszeresen deriváló tag (ideális): $s$ (emlékezz, hogy úgy deriválunk, hogy a Laplace-transzformáltat $s$-sel szorozzuk), a gyakorlatban nem megvalósítható.
• $D^{i}$ i-szeresen deriváló tag (ideális): $s^{i}$ , a gyakorlatban nem megvalósítható.
• $D$ Egyszeresen deriváló tag (közelítő): ${\frac {s}{1+sT_{c}}}$, a gyakorlatban így közelítik a deriválótagot; $T_{c}$ minél kisebb, annál gyorsabb a pluszként felvett pólus (annál inkább elmegy a valós mínusz végtelen felé), tehát egyre kevésbé baj a szabályozás miatt, hogy felvettünk egy új pólust, ugyanakkor $T_{c}\rightarrow 0$ esetén az ideális deriválót is közelíti a fenti képlet. A közelítés átka miatt pólus ${\frac {-1}{T_{c}}}$-ben.

Például ha egy szabályozó tagjai PID , akkor így néz ki: $A_{p}(1+{\frac {1}{sT_{i}}}+{\frac {sT_{d}}{1+sT_{c}}})$ , ahol Ap az arányos erősítési állandó, Ti az integrátor, $T_{d}$ a derivátor időállandója, és $T_{c}$ (vagy $T$) a közelítő deriváló hatás miatt bejövő, nagyon gyors pólus kicsi időállandója.

-- Baba - 2005.11.14.

Stabilitási kritériumok

A Nyquist és Bode feltételeknél a felnyitott kör W₀ átviteli függvényét vizsgáljuk, és ebből következtetünk a zárt kör stabilitására.

Nyquist

A zárt rendszer aszimptotikusan stabilis, ha a felnyitott rendszer teljes NYQUIST diagramja annyiszor veszi körül a komplex számsíkon a - 1 + 0j pontot az óramutató járásával ellentétes pozitív irányban, amennyi a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak száma.

Speciális esetben (csak ilyet tanultunk) csak a bal félsíkon vannak pólusok, tehát nem szabad körülvennie a -1 pontot. Matlabban van parancs nyquist rajzolásra, és az direkt jelöli a -1 pontot, és hogy körülveszi-e vagy nem. Az általunk tanult tipikus nyquist ábrák a 120.-121. oldalakon vannak. Észrevehetjük, hogy labilis esetben a valós tengellyel való metszéspontok körbeveszik a -1 pontot, stabil esetben mindegyik -1 és 0 között van. Ezt tudjuk használni, ha kézzel számolunk. Tehát keressük azokat az ω-kat, ahol a W(jω) függvény fázisa -180°. Ha itt az abszolótérték kisebb 1-nél, stabil a rendszer.

Gyakorlati alkalmazás: Az W(jw)-nek (felnyitott kör átviteli függvényébe s=jw-t helyettesítünk) meghatározzuk azon helyeit ahol a képzetes rész nulla. Ezeken a helyeken fogja metszeni a valós tengelyt. Ha ezek nagyobbak mint -1 akkor a rendszer stabil (nem kerülte meg ezt a pontot).

-- Main.SoproniPéter - 2005.11.17.

Bode

Ha átlátod az összefüggést a nyquist és bode között, akkor könnyű eszrevenni, hogy a bode ugyanazt mondja, mint a speciális nyquist kritérium. A vágási frekvencia (erősítés 1), az pontosan a nyqiust és az egységkör metszéspontja. A vágási frekvenciához tartozó fázis pontosan az a szög, ami a 120. oldalon be van jelölve. A fázistartalék azt jelöli, hogy a metszéspont milyen "messze van" az egységkörön a -1 ponttól (mennyivel lehet még elforgatni), tehát a nyílt kör vágási frekvenciánál vett fázistolása + 180°. Ha a fázistartalék 0, vagy negatív, akkor körülvettük a -1 pontot.

A bode csak nagyon spéci esetekben működik:

• csak bal félsíkon (vagy origóban) van pólus
• egyértelműen létezik a vágási frekvencia (tehát a tipikus nyquist ábrát látjuk)

Azért szeretjük a bode kritériumot, mert az aszimptotikus amplitúdó jelleggörbével jól meg tudjuk becsülni a vágási frekvenciát. Ehhez csak a pólusok és zérusok helyét kell ismerni. A vágási frekvenciát pedig be tudjuk helyettesíteni az átviteli függvénybe, hozzáadunk 180°-ot, és meg is van a fázistartalék, abból pedig, hogy stabil-e a rendszer (sőt, ez nagyjából azt is megmondja, hogy mennyire stabil a rendszer, sőt, a túllövést is csökkenti a nagy fázistartalék).

Hurwitz

Ha a zárt kör gyökei a bal félsíkra esnek, akkor stabil a rendszer. A Hurwitz kritérium pont erre ad szükséges és elégséges feltételt a karakterisztikus polinom (lásd fentebb) együtthatói alapján. Lásd 111. oldal

Egyéb

• Merev visszacsatolás
  • Ha egy rendszerben a szabályozó bemenetére a folyamat kimenetének és az alapjelnek a különbségét adjuk, akkor merev a visszacsatolás. Ha a folyamat kimenetét előtte valamilyen módon előfeldolgozzuk, akkor nem. Általában merev visszacsatolás szokott előfordulni ZH- és házipéldákban.
• Tuschák-módszer
  • Akkor használatos, ha egy folytonos idejű folyamathoz diszkrét idejű szabályozót tervezünk. Ekkor a szabályozó kimenete és a folyamat bemenete közt lesz egy diszkrétből folytonosba alakító dolog (pl. egy nulladrendű tartó), a folyamat kimenete és a szabályozó bemenete közt pedig egy folytonosból diszkrétbe alakító (mintavételező). Ha a folyamatot a kimenetén és bemenetén lévő átalakítókkal összefogjuk egy (diszkrét ki- és bemenetű) dobozzá, és ehhez a dobozhoz tervezünk szabályozót, akkor kis frekvenciákon a dolog elég jól közelíti azt, mintha a valódi rendszert szabályoznánk; ez Tuschák módszere a folytonos idejű folyamat diszkrét szabályozásának megtervezéséhez.
• Holtidő beiktatása hurokátviteli fv-be
  • $L(s)$-ből csinálunk $L(s)e^{-sTd}$-t, előbbi fázistartaléka $\varphi _{1}$, utóbbié $\varphi _{2}$
  • $L(s)$ vágási körfrekvenciája: $\omega _{c}={\frac {\mid \varphi _{1}-\varphi _{2}\mid }{T_{d}}}$

-- SzaMa - 2005.11.17.

Vágási körfrekvencia:

A Nyquist diagram és az egység sugarú kör metszéspontjához tartozó körfrekvencia, jele $\omega _{c}$

Gyökhelygörbe

Definíció: Zárt rendszer pólusainak helye, miközben a rendszer valamelyik paramétere (a leggyakrabban a körerősítés) nulla és végtelen között változik.

Abszolútérték feltétel: $\mid L(s)\mid =1$

Érzékenységi fv:

$S=\displaystyle {\frac {1}{1+CP}}=\displaystyle {\frac {\Delta T/T}{\Delta P/P}}$

Megmutatja, hogy a szakasz relatív megváltozása mennyire befolyásolja az eredő átviteli függvény relatív megváltozását. Megadja továbbá a szabályozás hibajele és alapjele, vagy a kimenőjel és a kimeneti zavaró jellemző közötti kapcsolatot.

Irányíthatóság:

A rendszer állapotirányítható, ha az állapotvektora az u irányítás hatására tetszőleges $x(t_{0})$ kezdeti állapotból véges idő alatt a tetszőlegesen előírt $x(t_{v})$ állapotba vihető át. Az állapotirányíthatóság KALMAN-féle feltétele: az irányíthatósági mátrix $Mc=[b\;Ab\;...\;A^{n-1}b]$ rangja n legyen. Ha diagonális [A] a kanonikus alakban b-nek nem lehet csupa 0 sora.

Youla-paraméter:

Stabilis, szabályos átviteli fv. Def: $Q(s)=C(s)/(1+C(s)P(s))$

• C(s): stabilizáló szabályozó
• P(s): stabilis folyamat átviteli függvénye

Paraméterezés: Ábra hozzá a tk 208. oldalán.

• $R_{n}$, $R_{r}$ referenciamodellek
• $C_{id}=\displaystyle {{\frac {Q}{1-QP}}={\frac {R_{n}}{1-R_{n}}}*P^{-1}}$ referenciaszabályozó: akkor realizálható, ha $R_{n}$ pólustöbblete nagyobb, vagy egyenlő a folyamaténál.

Könyv 212. oldalán kidolgozott feladat van hozzá.

Tartalékok

• Relatív erősítési
  • Értékével megszorozva a körerősítést, a kritikus körerősítést kapjuk meg (Nyquist diagram metszeni fogja a (-1, 0)-t)
  • Jele: g
  • $g_{m}=\displaystyle {\frac {1}{|L(j\omega _{180})|}}$
    • gm < 1 -> a rszr labilis
    • gm = 1 -> a rszr a stabilistás határán van
    • gm > 1 -> a rszr stabil
  • A struktúrálisan stabilis rendszerek bármekkora hurokerősítés mellett stabilak maradnak.
• Fázis
  • A Nyquist diagram és az egység sugarú kör metszéspontjához húzzunk egyenest az origotól. Az egyenes negatív valós tengellyel bezárt szöge a fázistartalék.
  • jele: $\phi _{t}$
  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \phi_t = 180°+\phi_{\omega_c} = arg( L(j\omega_c ) )+180°}
    • $\phi _{t}>0$ -> a rszr stabil
• Modulus
  • A (-1; 0) középpontú, felnyitott kör Nyquist diagramját érintő kör sugara.
  • $\rho =min_{w}(|L(j\omega )+1|)$
• Holtidő
  • A holtidőnek azon Td legkisebb értéke, amelyet a nyitott körbe helyezve a zárt rendszer a stabilitás határára kerül.
  • $Td_{krit}=\phi _{t}/\omega _{c}$
    • $Td_{krit}>0$ -> a rszr stabil

-- tferi - 2010.10.17.