Algoritmuselmélet 2010.11.19. PZH megoldásai

A VIK Wikiből


2010.11.19 - PZH megoldásai

1. Feladat (Van megoldás)

Az alábbi függvényeket rendezze olyan sorozatba, hogy ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_i } után közvetlenül Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_j } következik a sorban, akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_i(n) = O(f_j(n)) } teljesüljün!

  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_1(n)=2010 \cdot log_3(n^n) }

  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_2(n)=n^{1+2+ \dots +loglogn} }

  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_3(n)=4^{100+logn} }

Megoldás
  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_1(n)=2010 \cdot log_3(n^n) = 2010n \cdot log_3n }

  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_2(n)=n^{1+2+ \dots +loglogn} } ezt alulról becsülhetjük Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_{2}^{*}(n) = n^{logn} } -nel.

  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_3(n)=4^{100+logn} = 4^{100} \cdot 4^{logn} = 4^{100} \cdot (2^2)^{logn} = 4^{100} \cdot (2^{logn})^2 = 4^{100} \cdot n^2}

  • Első lépésben belátjuk, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_1(n)=O(f_3(n)). }

    • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2010n \cdot log_3n \leq c \cdot 4^{100} \cdot n^2 }

    • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2010 \cdot log_3n \leq c \cdot 4^{100} \cdot n }

    • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle log_3n \leq c \cdot \frac{4^{100}}{2010} \cdot n }

    • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle c=\frac{2010}{4^{100}}, n \geq 1 }

  • Második lépésben belátjuk, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_1(n)=O( f_{2}^{*}(n)). } (Ha ezt belátjuk, akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_1(n)=O( f_{2}(n)) } is igaz lesz.)

    • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 4^{100} \cdot n^2 \leq c \cdot n^{logn} }

    • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n^2 \leq \frac{c}{4^{100}} \cdot n^{logn} }

    • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle c = 4^{100} }

    • És a kitevők alapján pedig Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n \geq 4 }

  • Tehát a megoldás Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f_1(n) \rightarrow f_3(n) \rightarrow f_2(n) .}

2. Feladat

TODO

Megoldás
TODO

3. Feladat

TODO

Megoldás
TODO

4. Feladat (Van megoldás)

Dijkstra algoritmussal határozza meg a G gráfban az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A} pontból az összes többi pontba menő legrövidebb utak hosszát az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle X} pozitív valós paraméter függvényében. Minden lépésnél írja fel a távolságokat tartalmazó D tömb állapotát, és a KÉSZ halmaz elemeit.

Megoldás
  • Egy egyszerű Dijkstra-s feladat.
  • Annyit kell megjegyezni hozzá, hogy:
    • Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle X \leq 2 } , akkor az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle X} élt Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle ( D \rightarrow E )} veszi be.
    • Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle X \geq 2 } , akkor a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle C \rightarrow E } élt veszi be.

5. Feladat

TODO

Megoldás
TODO

6. Feladat (Van megoldás)

Hajtsa végre az alábbi Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F} bináris keresőfán a BESZÚR(13), TÖRÖL(10) műveleteket! Minden lépést jelezzen!

Megoldás
  • BESZÚR(13):
    • Egyszerű, mint az 1x1

  • TÖRÖL(10):
    • Töröljük a 10-t.
    • A BAL oldali részfából kiválasztjuk a LEGNAGYOBB elemet, és berakjuk a gyökérbe (ebben az esetben a 7).
    • A fát rendbe rakjuk (ez esetben a 6-t beírjuk a 7 régi helyére).

7. Feladat (Van megoldás)

Egy piros-fekete fa gyökerének mindkét gyereke fekete. A gyökér baloldali részfájában 14, a jobboldali részfájában 63 elemet tárolunk. Mennyi lehet a fa fekete-magassága?

Megoldás
  • Először vizsgáljuk a jobboldali részfát:
    • Tudjuk, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n \leq 2^m-1 \Rightarrow 63 \leq 2^m-1 \Rightarrow m \geq 6 } , vagyis a jobb oldali részfa magassága legalább 6.

    • Továbbá Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle fm \geq \frac{m}{2} \Rightarrow fm \geq 3 }

  • Most nézzük a baloldali részfát:
    • Ismert, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b_v \geq 2^{fm(v)}-1 \Rightarrow 14 \geq 2^{fm(v)}-1 \Rightarrow fm \leq 3.907 \Rightarrow \Rightarrow fm < 4 }


  • A 2 korlátot összevetve jön ki, hogy a bal és jobb részfa esetén Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle fm = 3.}
  • Emiatt az eredeti fában pedig Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle fm = 4.}

8. Feladat

TODO

Megoldás
TODO
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/index.php?title=Algoritmuselmélet_2010.11.19._PZH_megoldásai&oldid=180559”