Grafika !PótZH 2007.12.06, B csoport, első turnus forrásának megtekintése

{{GlobalTemplate|Infoalap|SzgGrafPZH20071206B1}}


'''1. Írjon C++ programot, ami az alább megadott felületet egy sugárral elmetszi. Visszatérési értéke bool, amiben jelzi, hogy van-e metszéspont. Továbbá számolja ki  a program, a metszéspont koordinátáit, és abban a pontban a felület normálisát (normális számolása: 3pont). A felület:''' <math> x(u,v) = u+v \]\[ y(u,v) = u-v \]\[ z(u,v) = u*v </math>

* Határozzuk meg, hogy milyen képlettel dönthető el, hogy egy <math> \underline{s}(x_s, y_s, z_s) </math> pontból induló, <math> \underline{d}(x_d, y_d, z_d) </math> irányvektorú sugár metszi-e a felületet. Akkor létezik metszéspont, ha az <math> (x(u, v), y(u, v), z(u, v))=\underline{s}+\underline{d}*t </math> vektoregyenletnek van megoldása (az ismeretlenek: t, u, v). A két vektor akkor egyenlő, ha mindegyik komponensük egyenlő: <math> u+v=x_s+x_d*t,\; u-v=y_s+y_d*t,\; u*v=z_s+z_d*t </math> Az első két egyenletből u és v kifejezhető t-vel, ezt behelyettesítjük a harmadikba, és t-re rendezzük: <math> t^2(x_d^2-y_d^2)+t(2x_sx_d-2y_sy_d-z_d)+(x_s^2-y_s^2-z_s)=0 </math>, és akkor van metszéspont, ha a diszkrimináns nemnegatív, és a gyökök közül legalább az egyik nemnegatív (csak a pozitív t jelenti azt, hogy a sugár "az elindulása után" metszi a felületet).
* Ha már megvan a megfelelő t (a nemnegatív gyök, ha kettő van, a kisebbik), kiszámoljuk belőle a metszéspontot, u-t és v-t (pl. az egyenletrendszer első két egyenletének felhasználásával), majd u és v ismeretében a normálist. A normálist úgy kapjuk meg, hogy vesszük a felületet leíró vektorfüggvénynek (x(u, v), y(u, v), z(u, v) a vektor három komponense) az u és v szerinti parciális deriváltjait (ez szintén két vektor), majd ezek vektoriális szorzatát.
* Az u szerinti parciális derivált: <math> (1, 1, v) </math>, a v szerinti: <math> (1, -1, u) </math>
* A kódban feltételezem, hogy rendelkezésre áll egy Vector osztály, értelmezve vannak rá a szokásos összeadás, kivonás, skalárral szorzás, skaláris szorzat (* operátor) és vektoriális szorzat (% operátor) műveletek. A normálist és a metszéspontot a függvény pointerek segítségével adja vissza.
<pre>
bool intersect(Vector source /* a sugár forrása */, Vector dir /* a sugár iránya */, \
Vector* point /* ide tárolja a metszéspontot */, Vector* normal /* ide tárolja a normálist */) {
  double a, b, c; /* a t-re vonatkozó másodfokú egyenlet együtthatói */
  double disc;	 /* a t-re vonatkozó egyenlet diszkriminánsa */
  double t1, t2;  /* a t-re vonatkozó egyenlet két gyöke */
  double t;		 /* a legközelebbi metszéspont t-je (a legkisebb pozitív gyök) */
  double u, v;	 /* a metszésponthoz tartozó paraméterértékek */
  Vector u_part, v_part;  /* a metszéspontban a parciális deriváltak */
  a=dir.x*dir.x-dir.y*dir.y;
  b=2*source.x*dir.x-2*source.y*dir.y-dir.z;
  c=source.x*source.x-source.y*source.y-source.z;
  disc=b*b-4*a*c;
  if (disc < 0) return false; /* negatív a diszkrimináns, nincs metszéspont */
  t1=(-b+sqrt(disc))/(2*a);
  t2=(-b-sqrt(disc))/(2*a);
  if (t1<0 && t2<0) return false; /* nincs pozitív gyök */
  if (t1<0) t=t2;
  else t=t1;
  (*point)=source+dir*t;
  u=((*point).x+(*point).y)/2;
  v=((*point).x-(*point).y)/2;
  u_part=Vector(1, 1, v);
  v_part=Vector(1, -1, u);
  (*normal)=u_part%v_part;
  return true;
}
</pre>

'''2. Mit csinál (milyen műveletet) egy ponttal az alábbi transzformáció? Milyen tulajdonságok igazak rá (egyenest egyenesbe képez, affin, szögtartó, aránytartó, stb. 1 pont)?'''
<math> \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{array} \right] </math>

* Grafikában sorvektorokkal dolgozunk, amiket mátrixokkal jobbról szorzunk. Ha egy mátrix utolsó oszlopában az utolsó érték nemnulla, a többi pedig nulla, akkor affin transzformációval van dolgunk (ugyanis, a w komponenst biztosan nem nullázza ki, ha nulla volt, akkoor viszont nulla marad, tehát ideális pont ideálisba, nemideális nemideálisba megy, és az ilyen projektív transzformációk affinok is). Ilyenkor a bal felső 3x3mas mátrix adja meg a lineáris részt, a legalsó sor első három eleme pedig az eltoló részt, a jobb alsó elem pedig azt, hogy w hányszorosára változik. Mivel a projektív térből a szokványosba úgy lehet visszatérni, hogy az x, y, z komponenseket leosztjuk w-vel, ezért, ha egy projektív transzformációban mindegyik elemet ugyanannyiszorosára változtatjuk, akkor a transzformációnak ugyanaz lesz a végeredménye. Mivel a legkényelmesebb, ha w értéke nem változik, ezért osszuk le a mátrixot kettővel. Ekkor már mondhatjuk azt, hogy a lineáris rész felére zsugorítás, az eltolás pedig (1, 1, 1)-gyel tol el. Vagyis a transzformáció először felére zsugorít, majd eltol (1, 1, 1)-gyel.
* A tulajdonságok: egyenest egyenesbe képez (ez minden projektív transzformációra igaz), affin, szögtartó (mert csak kicsinyítés és eltolás van benne), aránytartó (ugyanemiatt). Lehetne még: nem lineáris (az eltolás miatt), nem "térfogat-tartó" (a kicsinyítés miatt), körüljárási irány-tartó (a vals felső mátriy determinánsának pozitív az előjele).

-- [[KisGergelyG|G]] - 2008.12.23.

-- [[BotzAttila|Boci]] - 2007.12.13.


[[Category:Infoalap]]