Fizika1 Kifejtendő gyakorlófeladatok megoldásokkal

Adja meg és a pályagörbe felrajzolásával értelmezze egy tömegpont általános síkbeli mozgását jellemző kinematikai mennyiségeket (1p)! Vezesse le differenciálással és integrálással a kapcsolatukat leíró kinematikai egyenleteket (2p)!

Helyvektor $\vec{r}$ , elmozdulásvektor $Δ \vec{r}$ , sebességvektor $\vec{v} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ \vec{r}}{Δ t} = \frac{d \vec{r}}{d t}$ , gyorsulásvektor $\vec{a} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ \vec{v}}{Δ t} = \frac{d \vec{v}}{d t}$ , út $s$
Átlagsebesség $v = \frac{s}{t}$
A sebesség-idő függvény idő szerinti integrálja adja az adott idő alatti elmozdulást.
A gyorsulás-idő függvény idő szerinti integrálja adja az adott idő alatt bekövetkezett sebesség-változást.

$F = - γ \frac{M m}{r^{2}} \frac{\vec{r}}{r}$ . ahol $r$ a forrástestből a próbatestbe mutató vektor.

Tömegközéppontra $θ_{s}$ ismert, vegyük a tömegközéppontot origónak.
Az origóból kijelölünk egy x irányt, erre merőlegesen egy y irányt. X irányba a tömegközépponttól d távolságra a tehetetlenségi nyomaték $θ_{d} = \sum m_{i} ((x_{i} - d)^{2} + y_{i}^{2})$
$θ_{d} = \sum m_{i} ((x_{i} - d)^{2} + y_{i}^{2}) = \sum m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} - 2 d x_{i} + d^{2}) = \sum m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2}) + \sum m_{i} (- 2 d x_{i} + d^{2}) = θ_{s} + \sum m_{i} (- 2 d x_{i} + d^{2})$
$θ_{d} = θ_{s} + \sum m_{i} (d^{2}) = θ_{s} + m d^{2}$

Más nevében: kinetikus energia tétele, Eleven erő tétele
$W = \frac{1}{2} m Δ v^{2}$
Kérdés: mekkora a test végsebessége, ha $F$ erővel $s$ úton gyorsítjuk? (kezdetben a sebesség $v_{1}$ , az út megtételéhez $t$ idő szügséges, a végsebesség $v_{2}$ )
$v (t) = v_{1} + a t$
$s (t) = v_{1} t + \frac{1}{2} a t^{2}$
$t = m \frac{v_{2} - v_{1}}{F}$
$s = v_{1} \frac{m (v_{2} - v_{1})}{F} + \frac{1}{2} \frac{F}{m} \frac{m^{2} (v_{2} - v_{1})^{2}}{F^{2}} = \frac{m}{F} (v_{1} v_{2} - v_{1}^{2} + \frac{1}{2} v_{2}^{2} - v_{1} v_{2} + \frac{1}{2} v_{1}^{2}) = \frac{1}{2} \frac{m}{F} (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
$s = \frac{1}{2} \frac{m}{F} (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
$F s = W = \frac{1}{2} m Δ v^{2}$