Matematika A3 - Differenciálegyenletek: osztályozások és definíciók

Definíció

A differenciálegyenlet olyan egyenlet, mely tartalmaz egy ismeretlen függvényt (szokásosan $y(x)$) és annak deriváltjait.

Osztályozások

Közönséges - parciális differenciálegyenletek

Közönséges, ha az ismeretlen függvény egyváltozós, parciális, ha többváltozós.

Példák

Az első egyenlet közönséges, a második parciális.

$y'(x)=e^{x}+x$

${\frac {\partial y(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial y(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}}=x_{1}^{5}x_{2}^{2}$

Lineáris - nem lineáris differenciálegyenletek

Lineáris, ha nem szerepel az egyenletben a deriváltak szorzata, egyébként nem lineáris.

Példák

Az első egyenlet lineáris, a második nem.

$y'(x)=x^{2}+4$

$x_{1}{\frac {\partial y(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial y(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}}=x_{1}^{2}x_{2}$

Homogén - inhomogén differneciálegyenletek

Homogén, ha az egyenlet nem tartalmaz független változót vagy konstans tagot, inhomogén, ha igen.

Példák

Az első egyenlet homogén, a második nem.

$xy'(x)-e^{x}y(x)=0$

$xy'(x)-e^{x}y(x)-12=0$

Állandó-, vagy függvényegyütthatós differenciálegyenletek

Állandó együtthatós, ha a deriváltak együtthatói állandók, függvény együtthatós, ha függvények.

Példák

Az első egyenlet állandó-, a második függvény együtthatós.

$4y'(x)-2y(x)=10$

$x^{2}y'(x)-e^{x+1}y(x)-12=0$

Első-, másod-, n-edrendű differenciálegyenletek

A legnagyobb derivált rendje határozza meg az egyenlet rendjét.

Példa

A fentiek mind elsőrendűek, alább egy harmadrendű.

$4x^{2}y'''(x)+2xy''(x)+y'(x)=7$