Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04.

← Vissza az előző oldalra – Matematika A2a - Vektorfüggvények

1. feladat

Legyen $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\left(\begin{array}{rrr}-2& -4& 2\\ 2& 3& 2\\ -2& -2& a\end{array}\right)$, ahol $a\in R$. Határozza meg $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ rangját $a$ függvényében!

Megoldás

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.

$det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12$

Ha $a\ne -6$, akkor $det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\ne 0$, és így a mátrix rangja 3.

Ha $a=-6$, akkor $det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=0$, a mátrix rangja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)

2. feladat

Határozza meg $R^3$-on a $z$ tengely körüli $+15^{\circ }$-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!

Megoldás

A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval. 102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T. Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.

$T*\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

$T*\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$T*\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$F^{102}=T=\left(\begin{array}{rrr}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

3. feladat

Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?

(a) $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},P=(0,0)$

(b) $f(x,y)=\frac{xy}{(x-1{)}^2+(y-1{)}^2},P=(2,2)$

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!

Megoldás

(a) Az y=0 síkmetszet: f(x,0)=|x|, az x=0 síkmetszet: f(0,y)=|y|. Mivel az f(x)=x| függvény nem deriválható az x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban. (A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)

(b)

4. feladat

Számítsa ki az $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{y^2}{\overset{1}{\int }}y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ értékét! (Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)

Megoldás

Az integrálási határok alapján ábrázoljuk a $0<y<1$, $y^2<x<1$ tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy $0<x<1$, és $0<y<\sqrt{x}$ is leírja ezt a tartományt. Így megcserélve az integrálás sorrendjét:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{\sqrt{x}}{\int }}y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ $=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+x^2}[y^2/2{]}_0^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$ $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=$ $\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{1}{\int }}2x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=$

Ez $f^{\prime }*f^n$ alakú, aminek az integrálja $\frac{f^{n+1}}{(n+1)}$

$=\frac{1}{4}{\left[\frac{(1+x^2{)}^{3/2}}{3/2}\right]}_0^1=$ $\frac{1}{6}{[(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}]}_0^1=$ $\frac{1}{6}(2\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}$

5. feladat

Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re

(a) $f(x)=xsin\frac{1}{x}hax\ne 0,f(0)=0$

(b) $f(x)=\frac{sinx}{x}hax\ne 0,f(0)=1$

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!

Megoldás

TODO

6. feladat

(a) Igaz-e egy tetszőleges $n\times n$-es mátrix esetén, hogy
(a1) pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.
(a2) pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.

(b) Legyen $f$ tetszőleges kétváltozós függvény, $a$ a sík tetszőleges pontja és $S(a)$ az $a$ pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e, hogy'
(b1) ha $f$ parciális deriváltjai folytonosak $S(a)$-ban, akkor $f$ deriválható $a$-ban.
(b2) ha $a$-ban $f$ parciális deriváltjai: $f_x(a)$ és $f_y(a)$ léteznek, akkor az $f$ deriváltja $gradf$ is létezik $a$-ban és $gradf{|}_a=(f_x(a),f_y(a))$

(c) Legyen $a_n$ > 0 minden $n$-re. Igaz-e, hogy
(c1) ha $\sum (-1{)}^n{a}_n$ numerikus sor konvergens, akkor a $\sum a_n$ is konvergens.
(c2) ha a $\sum a_n$ numerikus sor konvergens, akkor a $\sum (-1{)}^n{a}_n$ is konvergens.

Megoldás

(a1) Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindkettő egyenlő $n$-nel.

(a2) Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.

(b1) Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.

(b2)

(c1) Hamis. Ellenpélda: $a_n=\frac{1}{n}$.

(c2) Igaz. Bontsuk szét $a_n$-t két sorozatra: $a_{n1}$ a páratlan indexű, $a_{n2}$ a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindkettő konvergens. Ebből $a_{n2}-a_{n1}$ is konvergens, tehát $\sum (-1{)}^n{a}_n$ is konvergens.