Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Feladat

Adja meg az összes olyan $z$ komplex számot, melyre $z^{4}=2j{\frac {-8+6j}{3+4j}}$.

Megoldás

Végezzük el először a $2j$-vel való beszorzást.

$z^{4}={\frac {-16j-12}{3+4j}}={\frac {-4*(3+4j)}{3+4j}}=-4$

Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge $\pi$ és nagysága 4, így:

$z^{4}=-4=-4+0*j=4*(cos\pi +j*sin\pi )$ Mert

Ebből kell most negyedik gyököt vonni:

$z={\sqrt {2}}*(cos{\frac {\pi +2k\pi }{4}}+j*sin{\frac {\pi +2k\pi }{4}})$ ahol $k=0,1,2,3$

2. Feladat

Határozza meg az alábbi határértékeket!

$a,\;\lim _{x\to \infty }{\frac {3^{n+2}+n^{3}}{3^{n}-n}}=?$

$b,\;\lim _{x\to \infty }{\frac {(3-{\frac {1}{n}})^{n}}{3^{n}}}=?$

Megoldás

a, Feladat:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {3^{n+2}+n^{3}}{3^{n}-n}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3^{2}+{n^{3}}/{3^{n}}}{1-{n}/{3^{n}}}}={\frac {9+0}{1-0}}=9$

b, Feladat:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {(3-{\frac {1}{n}})^{n}}{3^{n}}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {3-{\frac {1}{n}}}{3}}\right)^{n}=\lim _{x\to \infty }\left(1-{\frac {\frac {1}{3}}{n}}\right)^{n}=e^{-{\frac {1}{3}}}$

3. Feladat

Melyik igaz, melyik nem:

a, Ha $f$ folytonos $[a,b]$-n, akkor $f$ korlátos $[a,b]$-n

b, Ha $f$ folytonos $(a,b)$-n, akkor $f$ korlátos $(a,b)$-n

c, Ha $f$ folytonos $(a,b)$-n, akkor véges sok pont kivételével $f$ deriválható $(a,b)$-n

d, Ha $f$ értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható $(a,b)$-n akkor folytonos itt

e, Ha $f$ deriválható $(a,b)$-n, akkor $f$ folytonos $(a,b)$-n

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

4. Feladat

Hány megoldása van az $x^{13}-13x-9=0$ egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!

Megoldás

Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:

Hány zérushelye van az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x)=x^{13}-13x-9} függvénynek?

Deriváljuk a függvényt először:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f'(x)=13x^{12}-13}

Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 13x^{12}-13=0} , ebből Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x=-1} vagy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x=1}

Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:

ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,

ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f''(x)=156x^{11}} , ebből Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f''(-1)=-156} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f''(1)=156} .

Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.

Így igaz, hogy a függvény a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (\infty,-1)} intervallumon szigorúan monoton nő, a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (-1,1)} intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (1,\infty)} intervallumon szigorúan monoton nő.

Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(-1)=3} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(1)=-21} -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.

Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(0)=-9} , tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.

Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.

5. Feladat

Határozza meg az alábbi integrál értékét!

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?}

Megoldás

A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v'(x)=1 \;\;\;\&\;\;\; u(x)=ln^2x}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v(x)=x \;\;\;\&\;\;\; u'(x)=2{lnx \over x}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=\left[xln^2x\right]_1^e-\int_1^e x*2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x= [xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x=}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_1^e lnx\mathrm{d}x \;} -et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:

$\left[xln^{2}x\right]_{1}^{e}-2\left(\left[xlnx\right]_{1}^{e}-\int _{1}^{e}x*{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x\right)=$

$\left[xln^{2}x\right]_{1}^{e}-2\left(\left[xlnx\right]_{1}^{e}-\left[x\right]_{1}^{e}\right)=$

$\left[x\left(ln^{2}x-2lnx+2\right)\right]_{1}^{e}=$

$e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2$

6. Feladat

Határozza meg az alábbi határértéket!

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\int _{0}^{x}\arctan {(t)}\mathrm {d} t}{x}}=?$

Megoldás

Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:

$\int _{0}^{x}1*\arctan {(t)}\mathrm {d} t=\left[t*\arctan {(t)}\right]_{0}^{x}-\int _{0}^{x}t*{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=\left[t*\arctan {(t)}\right]_{0}^{x}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}{\frac {2t}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=$

$=\left[t*\arctan {(t)}\right]_{0}^{x}-{\frac {1}{2}}\left[ln\left(t^{2}+1\right)\right]_{0}^{x}=x*\arctan {x}-0-{\frac {1}{2}}ln\left(x^{2}+1\right)+0=x*\arctan {x}-{\frac {1}{2}}ln\left(x^{2}+1\right)$

Most ezt visszahelyettesítjük:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x*\arctan {x}-{\frac {1}{2}}ln\left(x^{2}+1\right)}{x}}=$ $\lim _{x\to \infty }\left(\arctan {x}-{\frac {ln\left(x^{2}+1\right)}{2x}}\right)=$ ${\frac {\pi }{2}}-\lim _{x\to \infty }{\frac {ln\left(x^{2}+1\right)}{2x}}$

$\lim _{x\to \infty }\arctan {x}={\frac {\pi }{2}}$

A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {ln(x^{2}+1)}{2x}}=$ $\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {2x}{x^{2}+1}}{2}}=$ $\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x^{2}+1}}=$ $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2x}}=0$

Tehát a feladat megoldása: ${\frac {\pi }{2}}-0={\frac {\pi }{2}}$