Rendszeroptimalizálás - r x r-es részmátrix nemszinguláris

Tétel: ha egy r rangú A mátrixból kiválasztunk r db lineárisan független oszlopot és r db lineárisan független sort, a kettő metszete által meghatározott r x r-es részmátrix nemszinguláris.

Biz.: jelöljük az r sor által meghatározott részmátrixot S-sel, az r oszlop által meghatározott részmátrixot O-val, a kettő metszetét pedig M-mel.

• O oszlopainak lineáris kombinációjaként kifejezhető A többi oszlopa.
• M oszlopainak ugyanilyen együtthatós lineáris kombinációjaként kifejezhető S többi oszlopa, ezért r(S)=r(M).
• Másrészt r(S)=r(A), mert S r(A) db lineárisan független sorból áll.
• r(M)=r(A) ⇒ M nemszinguláris.

-- Peti - 2007.01.01.