Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH

← Vissza az előző oldalra – Matematika A4 - Valószínűségszámítás

1. Feladat:

Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?

Megoldás

$X:$ élettartam

Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq 0$

$F(x)=1-e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq 0$

$P(x\geq 2)=0.2$

$e^{-\lambda 2}=0.2$

$-\lambda 2=ln0.2$

$\lambda =-{\frac {ln0.2}{2}}\approx 0.8$

$m={\frac {1}{\lambda }}$

$1-e^{-0.8x}={\frac {1}{2}}$

$e^{-0.8x}={\frac {1}{2}}$

$-0.8x=ln{\frac {1}{2}}$

$x={\frac {-ln{\frac {1}{2}}}{0.8}}={\frac {ln2}{0.8}}=0.86$

2. Feladat:

Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!

Megoldás

$\varphi [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$

$X=\sin \varphi$

$F(x)=p(X<x)$

$P(\sin \varphi <x)=P(\varphi <\arcsin x)={\frac {\arcsin x+{\frac {\pi }{2}}}{\pi }}$

$f(x)=F(x)'={\frac {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\pi }}$

3. Feladat:

Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?

Megoldás

a) Kérdés

Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.

$X:RND1^{2}$

$Y:RND2^{3}$

$f1(x)={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\;\;\;\;\;0<x<1$

$f2(y)={\frac {1}{3}}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\;\;\;\;\;0<y<1$

$f(x,y)=f1(x)f2(y)={\frac {1}{6}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\;\;\;\;\;0<x<1\;\;\;\;\;0<y<1$

$P(X>Y)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{x}{\frac {1}{6}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\mathrm {d} y\mathrm {d} x$

a) Kérdés egyszerűbben

$P(RND1^{2}>RND2^{3})=P(RND1>RND2^{\frac {3}{2}})=$

Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a

$y^{\frac {3}{2}}=x$

vagyis a

$y=x^{\frac {2}{3}}$

görbe alatti terület számítására.

$=\int _{0}^{1}x^{\frac {2}{3}}\mathrm {d} x=[{\frac {x^{\frac {5}{3}}}{\frac {5}{3}}}]_{0}^{1}={\frac {3}{5}}$

b) Kérdés

$X:f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1)$

$Y:f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0<y<1)$

$Y:f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0<x<1)\;\;\;\;\;(0<y<1)$

$P(X^{2}>Y^{3})=P(X^{\frac {2}{3}}>Y)=$

$=\int \limits _{A}\int 4xy\;\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y=$

$=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{x^{\frac {2}{3}}}4xy\;\;\mathrm {d} y\mathrm {d} x$