Bode-diagram kézi rajzolása

A VIK Wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen David14 (vitalap | szerkesztései) 2014. január 20., 23:29-kor történt szerkesztése után volt. (→‎3. Fel/letörések meghatározása:)

A Bode-diagram kézi rajzolása több tantárgyból is előjöhet. Ehhez nyújt segítséget az alábbi leírás, melyet Ndroo készített a Keviczky-féle Szabályozástechnika-könyv alapján.

A Bode-diagram készítésének lépései

1. Átviteli függvény átalakítása

Az aszimptotikus Bode-diagramm rajzolásához először "Bode normál alakra" kell hoznunk az átviteli függvényt:


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L(s) = {K \over s^i} \cdot {\sum_{k} \left( {1 + sT_k} \right) \cdot \sum_{m} \left( 1 + s \cdot 2 \xi_m T_m + s^2 T_m^2 \right) \over \sum_{l} \left( {1 + sT_l} \right) \cdot \sum_{n} \left( 1 + s \cdot 2 \xi_n T_n + s^2 T_n^2 \right)} }


Ebből az alakból leolvasható a rendszer Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle K} körerősítése és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i} típusszáma (integrátorok száma).


Ha tehát a feladatban ehhez hasonló alak van: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L(s)=\frac{10 \cdot (s+10)}{s^3+51s^2+50s}} , akkor át kell alakítani ilyen alakká: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L(s)={2\over s}\cdot \frac{(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}}


Először a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítani, aztán annyit emelünk ki, hogy az "s" nélküli tagok értéke 1 legyen:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L(s)=\frac{10 \cdot (s+10)}{s^3+51s^s+50s}=10\frac{s+10}{s(s+1)(s+50)}=10\frac{10}{50}\frac{1+0.1s}{s(1+s)(1+0.02s)}={2 \over s} \cdot \frac{(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}} .


Így minden tényező Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1+sT} alakú lesz. Ha eleve így adták meg, akkor ezt a lépést ki kell hagyni.

Megjegyzés: Ha komplex konjugált gyökpárok is kijöttek volna a gyöktényezős felbontás során, akkor azok Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1 + s \cdot 2 \xi T + s^2 T^2} alakú tagokat hoztak volna be.

2. Pólusok/zérusok felírása

Zérusok - Azok a helyek ahol a számláló értéke 0 lesz: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z_1=-10}

Pólusok - Azok a helyek, ahol a nevező értéke lesz 0: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle p_1=0, \;p_2=-1, \;p_3=-50}

3. Fel/letörések meghatározása:

Ezek után készítsük el az alábbi táblázatot, melynek első sorában a pólusok és a zérusok abszolút értékük szerinti növekvő sorrendbe vannak rendezve (ezek lesznek a töréspontok):

Pólusok/zérusok
abszolút értéke 		Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle |p_1|=0} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle |p_2|=1} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle |z_1|=10} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle |p_3|=50}
Index +1 +1 -1 +1
Multiplicitás 1 1 1 1

Az index értéke zérus esetén -1, pólus esetén +1.

A multiplicitás pedig azt jelenti, hogy „hányszoros gyök”. Azaz például ha a -1 háromszoros gyöke lenne a nevezőnek, akkor a multiplicitása 3 lenne. Továbbá a komplex konjugált pólus/zérus-párok esetén mindkét gyök abszolút értéke ugyanaz, így azok alapból 2-szeres multiplicitásúnak számítanak.


A jelleggörbe meredeksége a következő képlet szerint alakul:


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \left( -20 {dB \over dek} \right) \cdot (multiplicitas) \cdot (index) }


Ez a meredekség érték mindig az előző meredekséghez hozzáadódik!

4. A görbe kezdő meredeksége:

Ha van a zárt körben integrátor (i>0), akkor a fenti képlet a kezdő meredekséget is tökéletesen megadja. Azaz 1 integrátornál a kezdő meredekség -20 dB/dek, 2 integrátornál -40 dB/dek...

Ha azonban nincs az zárt körben integrátor (i=0), akkor az amplitúdó görbe kezdő meredeksége zérus, azaz egy vízszintes szakasszal indul.

A fenti példában egyszeres integrátor van, azaz -20dB/dekád a kezdő meredekség.

(Ha esetleg olyan állna elő, hogy i<0, azaz a nincs 0 értékű pólus, de van legalább egy 0 értékű zérus, akkor a kezdő meredekség szintén a képlet szerint alakul. Azaz +20 dB/dek, +40 dB/dek.... )

5. Az omega tengely metszésének pontja:

Most már tudjuk, hogyan néz ki az aszimptotikus amplitúdó görbe menete, de még szükségünk van az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega} tengely metszéspontjára, azaz Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega_c} vágási körfrekvencia értékére.

Ez legtöbb esetben a kezdeti meredekség és a körerősítés alapján meghatározható. Ha nincs integrátor a zárt körben (i=0), akkor a kezdeti szakasz vízszintes, így ez a módszer sajnos nem használható. Ha azonban i>0, akkor tudjuk, hogy az integrátor egyenese (van annak meghosszabbítása) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt[i]{K}} körfrekvencián metszi az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega} tengelyt. Ha ez előtt a pont előtt nincs töréspont, akkor a tényleges amplitúdógörbe is itt fogja metszeni az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega} tengelyt.


Jelen esetünkben azonban 1 integrátor van, tehát az integrátor egyenese (vagy annak meghosszabbítása) K=2-nél metszi a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega} tengelyt. Mivel azonban Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega=1} -nél az integrátor egyenesének kezdeti -20 dB/dek meredekségéhez -20 dB/dek hozzáadódik a képletnek megfelelően, tehát még Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega=2} előtt -40 dB/dek lesz a meredeksége, így a tényleges amplitúdó görbe nem 2-nél, hanem egy annál kisebb értéknél metszi az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega} tengelyt!

Az integrátor egyenese Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega=1} körfrekvencián Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle log\left( { 2\over 1 } \right) dek \cdot 20 {db \over dek} = 6 dB} értéket vesz fel, hiszen dekád távolság van az 1 és 2 körfrekvencia értékek között, és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle -20 {db \over dek}} az integrátor egyenesének meredeksége. Tudjuk, hogy a tényleges amplitúdó görbe Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega=1} körfrekvenciától Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle -40 {db \over dek}} meredekséggel halad, tehát kiszámíthatjuk, hogy az amplitúdó görbe Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1 + {6 dB \over 40 {dB \over dek}} = 1+0.15=1.15} -nél metszi az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega} tengelyt. (A lenti képen TÉVESEN Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega_c = \sqrt{2}} szerepel)


Ezt legtöbb a meredekség és az átviteli függvény szorzókonstansa (K) határozzák meg: ha a görbe meredeksége 0dB/dekád akkor nem metszi az x tengelyt (mert vízszintesen halad), ha -20dB/dekád, akkor K-nál metszi, ha -40dB/dekád, akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt{K}} -nál. Az egyes fel/letörések miatt úgy lehet nyomon követni, hol lesz a metszés helye, hogy megnézzük az integrátorokat/a kezdő meredekséget: ha K-ig nem változik a görbe meredeksége, akkor a meredekségnek megfelelően metszi (pl: egyszeres integrátor, K=5, ekkor -20dB/dekádos meredekséggel megy át az x tengelyen 5-nél), ha előtte megváltozik, akkor annak megfelelően (pl: kétszeres integrátor, K=16, 2-nél feltörik, ekkor 2-ig -40dB/dekád a meredekség, a tengelyt Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt{16}} -nál metszené, de a feltörés miatt 2 után -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt 16-nál.). A fenti példában K=2, egyszeres integrátor, -1-nél letörés van, ezért -40dB/dekád meredekséggel a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt{2}} pontban metszi.

6. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása:

  1. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása: (Lásd: könyv 88. old.) Itt az eddigieket kell összegyúrni eggyé, előbb bejelölöd a pontokat, ahol történik valami, majd utána rajzolod meg a görbét, az y tengelyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle |L(j\omega|} , az x tengelyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega} értékével.

7. Fázisgörbe értéke:

  1. Fázisgörbe értéke: (ez a másik görbe, a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi} -s, rendes nevén: fázis-körfrekvencia görbe) a görbéhez képzeljünk el sávokat, ahol 90° a lépték az egyes értékek közt. A fenti fel/letöréseknek megfelelően változik, ha feltörik, akkor az érték nő 90°-al, ha letörik, akkor csökken 90°-al. Viszont ez nem egyik pillanatról a másikba megy végbe, hanem "átmenetszerűen", rajzban ez azt jelenti, hogy fel/letörésnél már félúton van az új állapot felé.

8. Fázisgörbe kezdőértéke:

  1. Fázisgörbe kezdőértéke: ez az integrátorok, és az átviteli függvény szorzókonstansán múlik:
    1. a konstans ha pozitív, akkor 0° a kezdőérték, ha negatív, akkor -180°
    2. az integrátor(ok) miatt 0-ban -90°-al jobban változik (-180°-al, ha kétszeres)
    3. ha a számlálóban volt egy szimpla s tag, akkor az 90°-al növeli.
    4. Pl: konstans negatív, egyszeres integrátor: -180°+(-90°)=-270°, konstans pozitív, számlálóban egy szimpla s: 0°+90°=90°. A fenti példában konstans pozitív, egyszeres integrátor: 0°-90°=-90°.

9. Fázistöbblet meghatározása:

  1. Fázistöbblet meghatározása: (Lásd: könyv 190-191. old) fázistöbblet fázis-körfrekvencia görbe értékének különbsége -180°-tól a vágási körfrekvenciánál. Azaz ahol a dB-es görbe metszi az x tengelyt, ott megnézed a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi} -s görbe értéke mennyire tér el a -180°-os vonaltól. Ezt a meredekség határozza meg mekkora lesz: ha -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt: a fázistöbblet biztosan pozitív (Lásd: könyv 191.old, 5.35 ábra), ha -40dB/dekáddal metszi: a fázistöbbletet nem lehet meghatározni biztosan, olyat rajzolsz, mint az 5.36-os ábrán, ha -60dB/dekáddal metszi: a fázistöbblet biztosan negatív, ekkor a 180°-os vonal alatt megy el. A fenti példában -40dB/dekád meredekséggel a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt{2}} pontban metszi az x tengelyt a dB-es függvény, ezért a fázistöbbletet nem tudjuk meghatározni biztosan, a stabilitás határhelyzetében van.

10. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:

  1. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:

11. A rendszer stabilitásvizsgálata:

  1. Stabilis-e a rendszer: vagy azt nézed, hogy a fázistöbblet pozitív-e, vagy azt, hogy a jobboldali számsíkon van-e pólus: ha nincs, akkor stabilis.

12. Statikus hiba:

  1. Statikus hiba: megnézed az integrátorok számát, az adja a típusszámot, és azt a sort írod le a táblázatból (Lásd: könyv 140. oldal).


Típusszám 0 1 2
egységugrás Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{1+K}} 0 0
sebességugrás Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \infty} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{K}} 0
gyorsulásugrás Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \infty} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \infty} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{K}}
  • 0 jelentése: hiba nélkül követi
  • Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \infty} jelentése: nem tudja követni
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/index.php?title=Bode-diagram_kézi_rajzolása&oldid=175870”