Bode-diagram kézi rajzolása

A Bode-diagram kézi rajzolása több tantárgyból is előjöhet. Ehhez nyújt segítséget az alábbi leírás, melyet Ndroo készített a Keviczky-féle Szabályozástechnika-könyv alapján.

A Bode-diagram készítésének lépései

1. Átviteli függvény átalakítása

Az aszimptotikus Bode-diagramm rajzolásához először "Bode normál alakra" kell hoznunk az átviteli függvényt:

$L(s)={K \over s^{i}}\cdot {\sum _{k}\left({1+sT_{k}}\right)\cdot \sum _{m}\left(1+s\cdot 2\xi _{m}T_{m}+s^{2}T_{m}^{2}\right) \over \sum _{l}\left({1+sT_{l}}\right)\cdot \sum _{n}\left(1+s\cdot 2\xi _{n}T_{n}+s^{2}T_{n}^{2}\right)}$

Ebből az alakból leolvasható a rendszer $K$ körerősítése és $i$ típusszáma (integrátorok száma).

Ha tehát a feladatban ehhez hasonló alak van: $L(s)={\frac {10\cdot (s+10)}{s^{3}+51s^{2}+50s}}$, akkor át kell alakítani ilyen alakká: $L(s)={2 \over s}\cdot {\frac {(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}}$

Először a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítani, aztán annyit emelünk ki, hogy az "s" nélküli tagok értéke 1 legyen:

$L(s)={\frac {10\cdot (s+10)}{s^{3}+51s^{s}+50s}}=10{\frac {s+10}{s(s+1)(s+50)}}=10{\frac {10}{50}}{\frac {1+0.1s}{s(1+s)(1+0.02s)}}={2 \over s}\cdot {\frac {(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}}$.

Így minden tényező $1+sT$ alakú lesz. Ha eleve így adták meg, akkor ezt a lépést ki kell hagyni.

Megjegyzés: Ha komplex konjugált gyökpárok is kijöttek volna a gyöktényezős felbontás során, akkor azok $1+s\cdot 2\xi T+s^{2}T^{2}$ alakú tagokat hoztak volna be.

2. Pólusok/zérusok felírása

Zérusok - Azok a helyek ahol a számláló értéke 0 lesz: $z_{1}=-10$

Pólusok - Azok a helyek, ahol a nevező értéke lesz 0: $p_{1}=0,\;p_{2}=-1,\;p_{3}=-50$

3. Fel/letörések meghatározása:

Ezek után készítsük el az alábbi táblázatot, melynek első sorában a pólusok és a zérusok abszolút értékük szerinti növekvő sorrendbe vannak rendezve (ezek lesznek a töréspontok):

Pólusok/zérusok abszolút értéke	$|p_{1}|=0$	$|p_{2}|=-1$	$|z_{1}|=-10$	$|p_{3}|=-50$
Index	+1	+1	-1	+1
Multiplicitás	1	1	1	1

Az index értéke zérus esetén -1, pólus esetén +1.

A multiplicitás pedig azt jelenti, hogy „hányszoros gyök”. Azaz például ha a -1 háromszoros gyöke lenne a nevezőnek, akkor a multiplicitása 3 lenne. Továbbá a komplex konjugált pólus/zérus-párok esetén mindkét gyök abszolút értéke ugyanaz, így azok alapból 2-szeres multiplicitásúnak számítanak.

A jelleggörbe meredeksége a következő képlet szerint alakul:

$\left(-20{dB \over dek}\right)\cdot (multiplicitas)\cdot (index)$

Ez a meredekség érték mindig az előző meredekséghez hozzáadódik!

4. A görbe kezdő meredeksége:

Ha van a zárt körben integrátor (i>0), akkor a fenti képlet a kezdő meredekséget is tökéletesen megadja. Azaz 1 integrátornál a kezdő meredekség -20 dB/dek, 2 integrátornál -40 dB/dek...

Ha azonban nincs az zárt körben integrátor (i=0), akkor az amplitúdó görbe kezdő meredeksége zérus, azaz egy vízszintes szakasszal indul.

A fenti példában egyszeres integrátor van, azaz -20dB/dekád a kezdő meredekség.

(Ha esetleg olyan állna elő, hogy i<0, azaz a nincs 0 értékű pólus, de van legalább egy 0 értékű zérus, akkor a kezdő meredekség szintén a képlet szerint alakul. Azaz +20 dB/dek, +40 dB/dek.... )

5. Az x tengely metszésének pontja:

1. Az x tengely metszésének pontja: (vágási körfrekvencia, $\omega _{c}$): ezt a meredekség és az átviteli függvény szorzókonstansa (K) határozzák meg: ha a görbe meredeksége 0dB/dekád akkor nem metszi az x tengelyt (mert vízszintesen halad), ha -20dB/dekád, akkor K-nál metszi, ha -40dB/dekád, akkor ${\sqrt {K}}$-nál. Az egyes fel/letörések miatt úgy lehet nyomon követni, hol lesz a metszés helye, hogy megnézzük az integrátorokat/a kezdő meredekséget: ha K-ig nem változik a görbe meredeksége, akkor a meredekségnek megfelelően metszi (pl: egyszeres integrátor, K=5, ekkor -20dB/dekádos meredekséggel megy át az x tengelyen 5-nél), ha előtte megváltozik, akkor annak megfelelően (pl: kétszeres integrátor, K=16, 2-nél feltörik, ekkor 2-ig -40dB/dekád a meredekség, a tengelyt ${\sqrt {16}}$-nál metszené, de a feltörés miatt 2 után -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt 16-nál.). A fenti példában K=2, egyszeres integrátor, -1-nél letörés van, ezért -40dB/dekád meredekséggel a ${\sqrt {2}}$ pontban metszi.

6. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása:

1. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása: (Lásd: könyv 88. old.) Itt az eddigieket kell összegyúrni eggyé, előbb bejelölöd a pontokat, ahol történik valami, majd utána rajzolod meg a görbét, az y tengelyen $|L(j\omega |$, az x tengelyen $\omega$ értékével.
   

7. Fázisgörbe értéke:

1. Fázisgörbe értéke: (ez a másik görbe, a $\varphi$-s, rendes nevén: fázis-körfrekvencia görbe) a görbéhez képzeljünk el sávokat, ahol 90° a lépték az egyes értékek közt. A fenti fel/letöréseknek megfelelően változik, ha feltörik, akkor az érték nő 90°-al, ha letörik, akkor csökken 90°-al. Viszont ez nem egyik pillanatról a másikba megy végbe, hanem "átmenetszerűen", rajzban ez azt jelenti, hogy fel/letörésnél már félúton van az új állapot felé.
   

8. Fázisgörbe kezdőértéke:

1. Fázisgörbe kezdőértéke: ez az integrátorok, és az átviteli függvény szorzókonstansán múlik:
   1. a konstans ha pozitív, akkor 0° a kezdőérték, ha negatív, akkor -180°
   2. az integrátor(ok) miatt 0-ban -90°-al jobban változik (-180°-al, ha kétszeres)
   3. ha a számlálóban volt egy szimpla s tag, akkor az 90°-al növeli.
   4. Pl: konstans negatív, egyszeres integrátor: -180°+(-90°)=-270°, konstans pozitív, számlálóban egy szimpla s: 0°+90°=90°. A fenti példában konstans pozitív, egyszeres integrátor: 0°-90°=-90°.

9. Fázistöbblet meghatározása:

1. Fázistöbblet meghatározása: (Lásd: könyv 190-191. old) fázistöbblet fázis-körfrekvencia görbe értékének különbsége -180°-tól a vágási körfrekvenciánál. Azaz ahol a dB-es görbe metszi az x tengelyt, ott megnézed a $\varphi$-s görbe értéke mennyire tér el a -180°-os vonaltól. Ezt a meredekség határozza meg mekkora lesz: ha -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt: a fázistöbblet biztosan pozitív (Lásd: könyv 191.old, 5.35 ábra), ha -40dB/dekáddal metszi: a fázistöbbletet nem lehet meghatározni biztosan, olyat rajzolsz, mint az 5.36-os ábrán, ha -60dB/dekáddal metszi: a fázistöbblet biztosan negatív, ekkor a 180°-os vonal alatt megy el. A fenti példában -40dB/dekád meredekséggel a ${\sqrt {2}}$ pontban metszi az x tengelyt a dB-es függvény, ezért a fázistöbbletet nem tudjuk meghatározni biztosan, a stabilitás határhelyzetében van.

10. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:

1. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:
   

11. A rendszer stabilitásvizsgálata:

1. Stabilis-e a rendszer: vagy azt nézed, hogy a fázistöbblet pozitív-e, vagy azt, hogy a jobboldali számsíkon van-e pólus: ha nincs, akkor stabilis.

12. Statikus hiba:

1. Statikus hiba: megnézed az integrátorok számát, az adja a típusszámot, és azt a sort írod le a táblázatból (Lásd: könyv 140. oldal).

Típusszám	0	1	2
egységugrás	${\frac {1}{1+K}}$	0	0
sebességugrás	$\infty$	${\frac {1}{K}}$	0
gyorsulásugrás	$\infty$	$\infty$	${\frac {1}{K}}$

• 0 jelentése: hiba nélkül követi
  
• $\infty$ jelentése: nem tudja követni