Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23
Tartalomjegyzék
- 1 1. Adja meg az összes olyan [math]z[/math] komplex számot, melyre [math]z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}[/math].
- 2 2. Határozza meg az alábbi határértékeket!
- 3 3. Melyik igaz, melyik nem:
- 4 4. Hány megoldása van az [math]x^{13}-13x-9=0[/math] egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!
- 5 5. Határozza meg az alábbi integrál értékét!
- 6 6. Határozza meg az alábbi határértéket!
1. Adja meg az összes olyan [math]z[/math] komplex számot, melyre [math]z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}[/math].
Végezzük el először a [math]2j[/math]-vel való beszorzást.
[math]z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4[/math]
Tehát [math]z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi+j*sin\pi)[/math] Mert a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge [math]\pi[/math] és nagysága 4.
Ebből kell most negyedik gyököt vonni:
[math]z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+j*sin\frac{\pi+2k\pi}{4})[/math] ahol [math]k=0,1,2,3[/math]2. Határozza meg az alábbi határértékeket!
a, [math]\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?[/math]
b, [math]\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?[/math]
a, [math]\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?[/math]
[math]\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=\lim_{x\to\infty}\frac{3^2+\frac{n^3}{3^n}}{1-\frac{n}{3^n}}=\frac{9+0}{1-0}=9[/math]
3. Melyik igaz, melyik nem:
a, Ha [math]f[/math] folytonos [math][a,b][/math]-n, akkor [math]f[/math] korlátos [math][a,b][/math]-n
b, Ha [math]f[/math] folytonos [math](a,b)[/math]-n, akkor [math]f[/math] korlátos [math](a,b)[/math]-n
c, Ha [math]f[/math] folytonos [math](a,b)[/math]-n, akkor véges sok pont kivételével [math]f[/math] deriválható [math](a,b)[/math]-n
d, Ha [math]f[/math] értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható [math](a,b)[/math]-n akkor folytonos itt
e, Ha [math]f[/math] deriválható [math](a,b)[/math]-n, akkor [math]f[/math] folytonos [math](a,b)[/math]-n
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)4. Hány megoldása van az [math]x^{13}-13x-9=0[/math] egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!
Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:
Hány zérushelye van az [math]f(x)=x^{13}-13x-9[/math] egyenletnek?
Deriváljuk a függvényt először:
[math]f'(x)=13x^{12}-13[/math]
Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.
[math]13x^{12}-13=0[/math], ebből [math]x=-1[/math] vagy [math]x=1[/math]
Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, akövetkezőt tudjuk meg: ha f(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van, ha f(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.
[math]f''(x)=156x^{11}[/math] , ebből [math]f''(-1)=-156[/math] és [math]f''(1)=156[/math], tehát -1-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.
Így igaz a következő [math](\infty,-1)[/math] intervallumon szig. mon. nő, [math](-1,1)[/math]-on szig.mon. csökken, [math](1,\infty)[/math]-on szig. mon. nő.
Emiatt lehet 1,2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:
[math]f(-1)=3[/math] és [math]f(1)=-21[/math] -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.
Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: [math]f(0)=-9[/math], tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.
Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.
A megoldás kicsit hosszadalmas lett, amennyiben tudsz egyszerűbbet rakd fel nyugodtan ezután.
-- r.crusoe - 2008.01.14.
Az egyenletből egyébként ránézésre látszik, hogy egyáltalán van-e megoldása.. Ugyanis: páratlan fokú, tehát biztos átmegy az abszcisszán.
-- Gyurci - 2008.05.27.
Vizsgatapasztalat: Ha lehet 3 gyök és a végén kijön, hogy van is, akkor oda kell írni, hogy ez Bolzano miatt van. Itt persze a lényeg az, hogy ha pozitívból negatívba megyünk (vagy fordítva), és a fv. folytonos, akkor muszáj átmennünk az x tengelyen, tehát kell lennie gyöknek. Ez a függvény pedig folytonos, mert folytonosakból raktuk össze.
-- Gyurci - 2008.01.14.5. Határozza meg az alábbi integrál értékét!
[math]\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?[/math]
Parciálisan fogunk integrálni, beviszünk az integrálba egy 1-es szorzót, ez lesz [math]v'(x)[/math], és [math]u(x)=ln^2x[/math].
[math]\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=[xln^2x]_1^e-\int_1^e x*\frac{2lnx}{x}\mathrm{d}x= [xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x[/math]
[math]\int_1^e lnx\mathrm{d}x[/math]-et az előző módszerrel integráljuk:
[math][xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x)=[/math] [math][xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-[x]_1^e)=[/math] [math][x(ln^2x-2lnx+2)]_1^e=[/math]
[math]e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2[/math]6. Határozza meg az alábbi határértéket!
[math]\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?[/math]
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:
[math]\int_0^x 1*\arctan{t}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=[/math] [math]=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}[ln(t^2+1)]_0^x=[/math] [math]=x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln(x^2+1)-0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)[/math]
Most ezt visszahelyettesítjük:
[math]\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)}{x}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}(\arctan{x}-\frac{ln(x^2+1)}{2x})=[/math] [math]\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}[/math]
Mert, [math]\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}[/math].
A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:
[math]lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0[/math]
Így a feladat megoldása: [math]\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}[/math]
A feladatokat le kellene ellenőrizni + hozzáadni a 3. feladat megoldását.
