Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok

← Vissza az előző oldalra – Elektromágneses terek alapjai

Itt gyűjtjük a szóbeli vizsgán kapott feladatokat. A bennük szereplő számadatok nem túl lényegesek, a feladattípusokat próbáljuk összegyűjteni. Kérlek bővítsétek a szóbelin ténylegesen kapott feladatokkal, amennyiben időtök engedi, részletesebb megoldásokkal. Sablon:Noautonum

42. Feladat: Áramsűrűség

Stacionárius áramlási térben az áramsűrűség $J=e_{z}5\frac{kA}{m^2}$. Mekkra a z-tengellyel 60°-os szöget bezáró $A=80c{m}^2$ felületen átfolyó áram?

Megoldás

A $J$ áramsűrűség megadja a rá merőleges, egységnyi felületen átfolyó áram nagyságát. A $J$ áramsűrűség z irányú, nekünk a felületre normális komponensével kell számolnunk.

$I=\underset{A}{\int }JdA$, esetünkben Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle I = J * A * \sin60° }

50. Feladat: Két áramjárta vezető

Két egymással párhuzamos végtelen hosszú vezető egymástól 4 m távolságban. Az egyiken 2 A, a másikon 3 A folyik. Mekkora erő hat az egyik vezeték 1 m-es szakaszára?

Megoldás

Az egyikre ható erő egyenlő a másikra ható erővel (Newton erő-ellenerő törvénye). A megoldáshoz az Ampere-féle gerjesztési törvényre, és a Lorentz-erőre van szükség.

$\oint Hds=\int JdA=I$, ahol a H-t egy kör vonalán integráljuk, aminek a középpontját merőlegesen döfi át a vezeték, csak az egyik áram egy át rajta, a másik pont nem.

$H_{1}2d\pi =I_1\to H_1=\frac{I_1}{2d\pi }$

$F=q(v\times B)=I(l\times B)$, ahol I a konstans áramerősség, l pedig a vezetéken folyó áram irányának vektora, hossza a megadott 1 m. Derékszöget zárnak be a vektorok, így egyszerű szorzás lesz.

Tudjuk még, hogy $B={\mu }_{0}H$ vákuumban.

Innen a megoldás:

$F_{12}=I_{2}l{B}_1=I_{2}l{\mu }_0{H}_1=\frac{{\mu }_{0}l{I}_1{I}_2}{2d\pi }=\frac{4\pi 10^{-7}\cdot 1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 4\cdot \pi }=3\cdot 10^{-7}N$

Fordított indexeléssel ugyanez jönne ki a másikra is. Jobbkéz-szabályból következik, hogy ha azonos irányba folyik az áram, akkor vonzzák egymást, ha ellentétes irányba, taszítják. Szóbelin még érdemes megemlíteni, hogy ez a jelenség adja az Ampere mértékegység definícióját, 1 m hosszú szakasz, 1 m távolság, 1-1 A áramerősség esetén az erő:

$F=2\cdot 10^{-7}N$

58. Feladat: Toroid tekercs

Hányszorosára változik egy L önindukciós együtthatóval rendelkező I1=2A árammal átjárt toroid belsejében a mágneses fluxus, ha az áramerősséget nagyon lassan I2=5A-re növeljük? Hányszorosára változik a tekercs mágneses mezejében tárolt energia?

Megoldás

Mivel az áram nagyon lassan változik, így a kezdő és végállapotot vehetjük két egymástól független stacioner állapotú esetnek.

Egy bármilyen tekercs fluxusa az $\mathrm{\Psi }=L*I$ képletből számolható. Ez alapján a toroid fluxusváltozása: $\frac{{\mathrm{\Psi }}_2}{{\mathrm{\Psi }}_1}=\frac{L*I_2}{L*I_1}=\frac{I_2}{I_1}=2.5$

Egy bármilyen tekercs energiája számolható a $W=\frac{1}{2}*L*I^2$ képlet alapján. Tehát a toroid energiaváltozása: $\frac{W_2}{W_1}=\frac{\frac{1}{2}*L*I_2^2}{\frac{1}{2}*L*I_1^2}=\frac{I_2^2}{I_1^2}=2.5^2=6.25$

81. Feladat: Távvezeték megadott feszültségű pontjának meghatározása

Adott egy végtelen hosszú távvezeték, melynek paraméterei az alábbiak: R'=20 mOhm/m és G'=5 uS/m. Egy U0 egyenfeszültségű feszültség forrást kapcsolunk rá. Határozza meg azt a z távolságot, ahol a feszültség U0/2 lesz!

Megoldás

Első körben meg kell határoznunk, hogy mennyi a távvezeték csillapítása (alfa), feltéve hogy omega=0, mivel egyenfeszültséggel gerjesztjük a távvezetéket:

$\alpha =Re\left\{\gamma \right\}=Re\left\{\sqrt{(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })}\right\}=Re\left\{\sqrt{R^{\prime }*G^{\prime }}\right\}=\sqrt{R^{\prime }*G^{\prime }}=\sqrt{0.02*5*10^{-6}}=3.16*10^{-4}\frac{1}{m}$

Most meg kell határoznunk, hogy a távvezeték mely "z" távolságú pontjára csillapodik a a feszültség amplitúdója az eredeti érték felére:

$U_0*e^{-\alpha *z}=\frac{U_0}{2}$

$e^{-\alpha *z}=0.5$

$-\alpha *z=\ln 0.5⟶z=-\frac{\ln 0.5}{\alpha }=-\frac{\ln 0.5}{3.16*10^{-4}}=2.192km$

86. Feladat: Ideális távvezeték, számítás lánckarakterisztikával

Adott egy ideális távvezeték, hullámimpedanciája $500\mathrm{\Omega }$, hossza $\frac{\lambda }{8}$. A távvezeték végén adott az áram és a feszültség komplex amplitúdója: 2A illetve 500V. Határozzuk meg a feszültség komplex amplitúdóját a távvezeték elején.

Megoldás

$\beta =\frac{2*\pi }{\lambda }$ így $(\beta l)=\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\lambda }{8}=\frac{\pi }{4}$. Miután ez van, felírjuk az ideális távvezeték lánckarakterisztikájának első egyenletét: $U_1=cos(\beta l)*U_2+j*sin(\beta l)*Z_0*I_2$, és ebbe behelyettesítve megkapjuk a megoldást.

94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram

Egy $R=5\mathrm{\Omega }$ ellenállású zárt vezetőkeret fluxusa $\varphi (t)=30*sin(\omega t)mVs$, ahol $\omega =1\frac{krad}{s}$. Mekkora a keretben folyó áram effektív értéke?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján: $u_i=-\frac{d\varphi (t)}{dt}=-\omega *30*cos(\omega t)$. Behelyettesítve a körfrekvencia értékét: $u_i=-30*cos(\omega t)V$. Innen a feszültség effektív értéke $U_{eff}=\frac{30}{\sqrt{2}}V$, az áram effektív értéke pedig $I_{eff}=\frac{U_{eff}}{R}=\frac{6}{\sqrt{2}}A$.

98. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség

Az xy síkon helyezkedik el egy 3m sugarú kör alakú zárt "l" görbe. A mágneses indukció a térben homogén, z irányú komponense 40 ms idő alatt 0,8T értékről lineárisan zérusra csökken. Mekkora feszültség indukálódik eközben a "l" görbe mentén?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján: $u_i=-\frac{d\varphi (t)}{dt}=-A*\frac{dB(t)}{dt}=-r^2\pi *\frac{△B}{△t}=-r^2\pi *\frac{B_2-B_1}{△t}=-3^2\pi *\frac{0-0.8}{0.04}=565.5V$

107. Feladat: Hengeres vezetőben disszipált hőteljesítmény

Egy 1.5 mm^2 keresztmetszetű, 3 m hosszú hengeres vezetőben 10 A amplitúdójú 50 Hz-es szinuszos áram folyik. A behatolási mélység delta=9.7 mm, a fajlagos vezetőképesség pedig szigma=3.7*10^7 S/m. Mennyi a vezetőben disszipált hőteljesítmény?

Megoldás

A vezető sugara: $r=\sqrt{\frac{1.5}{\pi }}=0.691mm<<\delta$

Mivel a vezető sugara jóval kisebb mint a behatolási mélység, így a vezető vehető egy sima "l" hosszúságú, "A" keresztmetszetű és "szigma" fajlagos vezetőképességű vezetékdarabnak.

$R=\frac{1}{\sigma }*\frac{l}{A}=\frac{1}{3.7*10^7}*\frac{3}{1.5*10^{-6}}=54m\mathrm{\Omega }$

A vezetékben disszipálódó hőteljesítmény (vigyázat csúcsérték van megadva és nem effektív):

$P=\frac{1}{2}*R*I^2=\frac{1}{2}*0.054*10^2=2.7W$

149. Feladat: Koaxiális kábelben áramló teljesítmény

Koaxiális kábelben egyenáram folyik, a dielektrikumban kialakuló elektromos és mágneses térerősség hengerkoordináta-rendszerben leírva a következő:<br\>$E(r)=\frac{U_0}{r}*\overrightarrow{e_r}$ (ahol $\overrightarrow{e_r}$ a radiális irányú egységvektor), <br\>$H(r)=\frac{I_0}{r}*\overrightarrow{e_{\phi }}$ (ahol $\overrightarrow{e_{\phi }}$ a fi irányú egységvektor).<br\> Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara r₁, a külső vezető belső sugara r₂, a vezetők ideálisak, a kábel tengelye a z irányú.

Megoldás

A Poynting-vektor kifejezése: $S=E\times H\Rightarrow S(r)=E(r)*H(r)*\overrightarrow{e_z}$ (ahol $\overrightarrow{e_z}$ a z irányú egységvektor). <br\>Innen a teljesítmény: $P=\underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{U_0{I}_0}{r^2}\mathrm{d}\phi \mathrm{d}r=2\pi U_0{I}_0(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})=2\pi U_0{I}_0\frac{r_2-r_1}{r_1{r}_2}$