Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04.

← Vissza az előző oldalra – Matematika A2a - Vektorfüggvények

1. feladat

Legyen ${\underline {\underline {A}}}=\left({\begin{array}{rrr}-2&-4&2\\2&3&2\\-2&-2&a\end{array}}\right)$, ahol $a\in R$. Határozza meg ${\underline {\underline {A}}}$ rangját $a$ függvényében!

Megoldás

${\underline {\underline {A}}}$ rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.

$det{\underline {\underline {A}}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12$

Ha $a\neq -6$, akkor $det{\underline {\underline {A}}}\neq 0$, és így a mátrix rangja 3.

Ha $a=-6$, akkor $det{\underline {\underline {A}}}=0$, a mátrix rangja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)

2. feladat

Határozza meg $R^{3}$-on a $z$ tengely körüli $+15^{\circ }$-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!

Megoldás

A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval. 102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T. Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.

$T*\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}}\right)$

$T*\left({\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-1\\0\\0\end{array}}\right)$

$T*\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right)$

$F^{102}=T=\left({\begin{array}{rrr}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}}\right)$

3. feladat

Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?

(a) $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,P=(0,0)$

(b) $f(x,y)={\frac {xy}{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}},\,P=(2,2)$

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!

Megoldás

(a) Az y=0 síkmetszet: f(x,0)=|x|, az x=0 síkmetszet: f(0,y)=|y|. Mivel az f(x)=x| függvény nem deriválható az x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban. (A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)

(b)

4. feladat

Számítsa ki az $\int _{0}^{1}\int _{y^{2}}^{1}y{\sqrt {1+x^{2}}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y$ értékét! (Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)

Megoldás

Az integrálási határok alapján ábrázoljuk a $0<y<1$, $y^{2}<x<1$ tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy $0<x<1$, és $0<y<{\sqrt {x}}$ is leírja ezt a tartományt. Így megcserélve az integrálás sorrendjét:

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{\sqrt {x}}y{\sqrt {1+x^{2}}}\mathrm {d} y\mathrm {d} x$ $=\int _{0}^{1}{\sqrt {1+x^{2}}}[y^{2}/2]_{0}^{\sqrt {x}}\mathrm {d} x=$ $\int _{0}^{1}{\frac {x}{2}}{\sqrt {1+x^{2}}}\mathrm {d} x=$ ${\frac {1}{4}}\int _{0}^{1}2x{\sqrt {1+x^{2}}}\mathrm {d} x=$

(ez $f'*f^{n}$ alakú, aminek az integrálja $f^{n+1}/(n+1)$)

$={\frac {1}{4}}[{\frac {(1+x^{2})^{3/2}}{3/2}}]_{0}^{1}=$ ${\frac {1}{6}}[(1+x^{2})^{3/2}]_{0}^{1}=$ ${\frac {1}{6}}[2{\sqrt {2}}-1]={\frac {\sqrt {2}}{3}}-{\frac {1}{6}}$

5. feladat

Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re

(a) $f(x)=xsin{\frac {1}{x}}\,ha\,x\neq 0,f(0)=0$

(b) $f(x)={\frac {sinx}{x}}\,ha\,x\neq 0,f(0)=1$

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!

Megoldás

TODO

6. feladat

(a) Igaz-e egy tetszőleges $n\times n$-es mátrix esetén, hogy
(a1) pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.
(a2) pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.

(b) Legyen $f$ tetszőleges kétváltozós függvény, $a$ a sík tetszőleges pontja és $S(a)$ az $a$ pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e, hogy'
(b1) ha $f$ parciális deriváltjai folytonosak $S(a)$-ban, akkor $f$ deriválható $a$-ban.
(b2) ha $a$-ban $f$ parciális deriváltjai: $f_{x}(a)$ és $f_{y}(a)$ léteznek, akkor az $f$ deriváltja $grad\,f$ is létezik $a$-ban és $grad\,f|_{a}=(f_{x}(a),f_{y}(a))$

(c) Legyen $a_{n}$ > 0 minden $n$-re. Igaz-e, hogy
(c1) ha $\sum (-1)^{n}a_{n}$ numerikus sor konvergens, akkor a $\sum a_{n}$ is konvergens.
(c2) ha a $\sum a_{n}$ numerikus sor konvergens, akkor a $\sum (-1)^{n}a_{n}$ is konvergens.

Megoldás

(a1) Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindkettő egyenlő $n$-nel.

(a2) Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.

(b1) Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.

(b2)

(c1) Hamis. Ellenpélda: $a_{n}={\frac {1}{n}}$.

(c2) Igaz. Bontsuk szét $a_{n}$-t két sorozatra: $a_{n1}$ a páratlan indexű, $a_{n2}$ a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindkettő konvergens. Ebből $a_{n2}-a_{n1}$ is konvergens, tehát $\sum (-1)^{n}a_{n}$ is konvergens.