Bode-diagram kézi rajzolása

A Bode-diagram kézi rajzolása több tantárgyból is előjöhet. Ehhez nyújt segítséget az alábbi leírás, melyet Ndroo készített a Keviczky-féle Szabályozástechnika-könyv és a BodePlots.pdf alapján

A Bode-diagram készítésének lépései

1. Átviteli függvény átalakítása: Ha a feladatban ehhez hasonló alak van: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L(s)=10\frac{s+10}{s^3+51s^s+50s}} , akkor át kell alakítani ilyen alakká: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L(s)=\frac{2(1+0,1s)}{(s(1+s)(1+0,02s))}} . Először a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítani, aztán annyit emelünk ki, hogy az s nélküli tagok értéke 1 legyen: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L(s)=10\frac{s+10}{s^3+51s^s+50s}=10\frac{s+10}{s(s+1)(s+50)}=10\frac{10}{50}\frac{1+0,1s}{s(1+s)(1+0,02s)}=\frac{2(1+0,1s)}{s(1+s)(1+0,02s)}} . Így minden tényező Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1+sT} alakú lesz; ha eleve így adták meg, akkor ezt a lépést ki kell hagyni.
2. Pólusok/zérusok felírása: Zérusok: azok a helyek ahol a számláló értéke 0 lesz, pólusok: azok a helyek, ahol a nevező értéke lesz 0. Minden szorzatalakra fel kell írni a következőt: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1+sT=0} , itt lesz a számláló/nevező értéke nulla, pl.: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1+0,02s=0 ~\rightarrow~ s=-50} az egyik pólus, a többi: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle s=-1} -nél, Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle s=0} -nál van, a zérus: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle s=-10} -nél van.
3. Fel/letörés: Ez az amplitúdó-körfrekvencia görbéhez kell (a dB-es). A pontok, ahol a görbe fel/letörik: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1+sT} alakból vagy s abszolútértéke, vagy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{T}} értéke (a kettő abszolútértékben ugyanaz, úgy számold ki, ahogy jól esik). A görbe feltörik, ha zéruson megy át, ilyenkor a meredeksége 20dB/dekáddal nő (a függvény meredekéségét magasabbra rajzolod), illetve letörik, ha póluson megy át, a meredeksége itt 20dB/dekáddal csökken.
4. A görbe kezdő meredeksége: ezt az integrátorokból (szimpla s szorzótagok az átviteli függvényben) nézhető meg, ha nincs ilyen: a meredekség 0, a görbe vízszintesen indul, ha egy van (egyszeres integrátor): -20dB/dekád a kezdő meredekség, ha kettő van, azaz Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle s^2} van (kétszeres integrátor): -40dB/dekád. A fenti példában egyszeres integrátor van, azaz -20dB/dekád a kezdő meredekség.
5. Az x tengely metszésének pontja: (vágási körfrekvencia, Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega_c} ): ezt a meredekség és az átviteli függvény szorzókonstansa (K) határozzák meg: ha a görbe meredeksége 0dB/dekád akkor nem metszi az x tengelyt (mert vízszintesen halad), ha -20dB/dekád, akkor K-nál metszi, ha -40dB/dekád, akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt{K}} -nál. Az egyes fel/letörések miatt úgy lehet nyomon követni, hol lesz a metszés helye, hogy megnézzük az integrátorokat/a kezdő meredekséget: ha K-ig nem változik a görbe meredeksége, akkor a meredekségnek megfelelően metszi (pl: egyszeres integrátor, K=5, ekkor -20dB/dekádos meredekséggel megy át az x tengelyen 5-nél), ha előtte megváltozik, akkor annak megfelelően (pl: kétszeres integrátor, K=16, 2-nél feltörik, ekkor 2-ig -40dB/dekád a meredekség, a tengelyt Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt{16}} -nál metszené, de a feltörés miatt 2 után -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt 16-nál.). A fenti példában K=2, egyszeres integrátor, -1-nél letörés van, ezért -40dB/dekád meredekséggel a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt{2}} pontban metszi.
6. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása: (Lásd: könyv 88. old.) Itt az eddigieket kell összegyúrni eggyé, előbb bejelölöd a pontokat, ahol történik valami, majd utána rajzolod meg a görbét, az y tengelyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle |L(j\omega|} , az x tengelyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \omega} értékével.
   
7. Fázisgörbe értéke: (ez a másik görbe, a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi} -s, rendes nevén: fázis-körfrekvencia görbe) a görbéhez képzeljünk el sávokat, ahol 90° a lépték az egyes értékek közt. A fenti fel/letöréseknek megfelelően változik, ha feltörik, akkor az érték nő 90°-al, ha letörik, akkor csökken 90°-al. Viszont ez nem egyik pillanatról a másikba megy végbe, hanem "átmenetszerűen", rajzban ez azt jelenti, hogy fel/letörésnél már félúton van az új állapot felé.
   
8. Fázisgörbe kezdőértéke: ez az integrátorok, és az átviteli függvény szorzókonstansán múlik: a konstans ha pozitív, akkor 0° a kezdőérték, ha negatív, akkor -180°, az integrátor(ok) miatt 0-ban -90°-al jobban változik (-180°-al, ha kétszeres), illetve, ha a számlálóban volt egy szimpla s tag, akkor az 90°-al növeli. Pl: konstans negatív, egyszeres integrátor: -180°+(-90°)=-270°, konstans pozitív, számlálóban egy szimpla s: 0°+90°=90°. A fenti példában konstans pozitív, egyszeres integrátor: 0°-90°=-90°.
9. Fázistöbblet meghatározása: (Lásd: könyv 190-191. old) fázistöbblet fázis-körfrekvencia görbe értékének különbsége -180°-tól a vágási körfrekvenciánál. Azaz ahol a dB-es görbe metszi az x tengelyt, ott megnézed a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \varphi} -s görbe értéke mennyire tér el a -180°-os vonaltól. Ezt a meredekség határozza meg mekkora lesz: ha -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt: a fázistöbblet biztosan pozitív (Lásd: könyv 191.old, 5.35 ábra), ha -40dB/dekáddal metszi: a fázistöbbletet nem lehet meghatározni biztosan, olyat rajzolsz, mint az 5.36-os ábrán, ha -60dB/dekáddal metszi: a fázistöbblet biztosan negatív, ekkor a 180°-os vonal alatt megy el. A fenti példában -40dB/dekád meredekséggel a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt{2}} pontban metszi az x tengelyt a dB-es függvény, ezért a fázistöbbletet nem tudjuk meghatározni biztosan, a stabilitás határhelyzetében van.
10. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:
    
11. Stabilis-e a rendszer: vagy azt nézed, hogy a fázistöbblet pozitív-e, vagy azt, hogy a jobboldali számsíkon van-e pólus: ha nincs, akkor stabilis.
12. Statikus hiba: megnézed az integrátorok számát, az adja a típusszámot, és azt a sort írod le a táblázatból (Lásd: könyv 140. oldal).

Típusszám	0	1	2
egységugrás	Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{1+K}}	0	0
sebességugrás	Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \infty}	Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{K}}	0
gyorsulásugrás	Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \infty}	Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \infty}	Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{K}}

• 0 jelentése: hiba nélkül követi
  
• Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \infty} jelentése: nem tudja követni