Matematika A3 - Elsőrendű differenciálegyenletek

A VIK Wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Ipacsonyi (vitalap | szerkesztései) 2013. január 17., 03:27-kor történt szerkesztése után volt.
A nyomtatható változat már nem támogatott, és hibásan jelenhet meg. Kérjük, frissítsd a böngésződ könyvjelzőit, és használd a böngésző alapértelmezett nyomtatás funkcióját.

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.


%TOC{depth="3"}%

Explicit differenciálegyenletek

A megoldás általános alakja

Tehát a megoldás:

Példa

Tehát:

Szeparabilis differenciálegyenletek

A megoldás általános alakja

Amennyiben , akkor

Tehát a megoldás:

Példa

Tehát:

Példa

Ha , akkor:

Tehát:

Ha pedig , akkor:

szintén jó megoldás.

Példa

Ha , akkor:

Mivel , így:

Tehát:

Ha pedig , akkor , ami szintén kielégíti az eredeti egyenletet.


Példa

Ha , akkor:

És, mivel , így:

Tehát:

Ha pedig , az is kielégíti az eredeti egyenletet.

Szeparabilisra visszavezethető differenciálegyenletek

Homogén fokszámú differenciálegyenletek

Az elsőrendű differenciálegyenlet homogén fokszámú, ha és ugyanolyan fokszámú homogén függvények. Ekkor az egyenlet megoldása során mindig megtehetjük a következő helyettesítést:

Tehát igaz lesz, hogy:

Tehát az is igaz lesz, hogy:

Példa

Végezzük el a helyettesítést, :

Ha , akkor:

De mivel , így:

Ha pedig , akkor az eredeti egyenletbe helyettesítve:

is igaz.

Lineáris argumentumú differenciálegyenletek

Ha , ahol , és konstansok, bevezethető a következő helyettesítés:

Innen tehát:

Illetve:

Példa

Helyettesítéssel:

Ha , akkor:

De, mivel , így:

Ha pedig , tehát az eredeti egyenletbe helyettesítve helyes eredményt ad.

Egzakt differenciálegyenletek

Egy alakú elsőrendű differenciálegyenlet egzakt . Ekkor függvény, amelyre és . Ez az függvény az , függvénypár potenciálja. Egy egzakt differenciálegyenlet általános megoldása , ahol .

Példa

Egzakt?

Egzakt, tehát keressük függvényt! Mivel , így:

Tehát:


Példa

Egzakt?

Egzakt, tehát keressük függvényt!

Tehát:


Egzaktra visszavezethető differenciálegyenletek

Ha egy differenciálegyenlet nem egzakt, de létezik olyan multiplikátor, hogy már egzakt legyen, akkor ez egy egzaktra visszavezethető differenciálegyenlet. meghatározására az alábbi három speciális eset valamelyike szolgál:

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \text{Ha \textit{M} es \textit{N} azonos fokszamu homogen fuggvenyek es } M(x,y)x + N(x,y)y \neq 0 \Rightarrow m=\frac{1}{M(x,y)x + N(x,y)y} }

Példa

Egzakt?

Nem egzakt, de visszavezethető-e?

Az -el szorzott egyenlet már egzakt?

Már egzakt! Tehát a megoldás:

Tehát:


Példa

Egzakt?

Nem, de visszavezethető?

Tegyük fel, hogy . Az -el szorzott egyenlet már egzakt?

Már egzakt! Tehát a megoldás:

Tehát:

Ha pedig , az is kielégíti az eredeti egyenletet.

Kezdeti érték problémák

Amikor a differenciálegyenleten kívül meg van adva a keresett függvény egy pontbeli értéke. Ez alapján megadható egy partikuláris megoldás.

Példa

Tehát az általános megoldás:

De, mivel tudjuk, hogy , így:

Tehát a partikuláris megoldás:


-- Serény György előadásai és Farkas Gergő gyakorlatai alapján írta: MAKond - 2011.01.08.