1. tétel br Markov-lánc, átmenetvalószínűségek, homogenitás

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

Markov láncnak nevezzük az olyan sztochasztikus {X_n} folyamatokat, amelyekre teljesül a Markov tulajdonság:

$P(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},...,X_{0}=x_{0})=P(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1})$

vagyis a folyamat által felvett állapot csak a közvetlen múlttól függ, es független a korábbi esémenyektől. A dolog úgy is megfogalmazható, hogy a jövő a múlttól csak a jelenen keresztül függ. Az _n_ paramétert általaban az idővel azonosítjuk.

Mivel tudjuk, hogy ha $P(X_{n}=x_{n},X_{n-1}=x_{n-1},...,X_{0}=x_{0})>0$ akkor

$P(X_{n}=x_{n},X_{n-1}=x_{n-1},...,X_{0}=x_{0})=P(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},...,X_{0}=x_{0})\cdot P(X_{n-1}=x_{n-1}|X_{n-2}=x_{n-2},...,X_{0}=x_{0})\cdot ...\cdot P(X_{0}=x_{0})$

ezért ha valóban Markov láncról van szó, akkor:

$P(X_{n}=x_{n},X_{n-1}=x_{n-1},...,X_{0}=x_{0})=P(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1})\cdot P(X_{n-1}=x_{n-1}|X_{n-2}=x_{n-2})\cdot ...\cdot P(X_{0}=x_{0})$

amiből következik, hogy minden Markov lánc felírható egylépéses átmenet-valószínűségek es egy vetületvalószínűség szorzataként. Minden Markov lánc egyértelműen leírható, ha megadjuk a kezdeti eloszlását es az egylépéses átmenetvalószínűségeket ($P(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1})$ minden n-re).

Egy Markov láncot homogénnek nevezünk, ha annak a valószínűsége, hogy egy állapotot felvesz, független az időtől, vagyis:

$P(X_{n}=j|X_{n-1}=k)$ nem függ n-től.

-- CsapoAdamBalazs - 2005.06.13.
-- Peti - 2006.12.22.