Szabályozástechnika - Folytonosidejű állapotteres szabályozók tervezése

← Vissza az előző oldalra – Szabályozástechnika

 

A mechanikai lengőrendszer leírása

%% Állapotteres szabályozás folytonos időben

%% Mechanikai lengőrendszer leírása

% A rendszer paraméterei 
m=2;    % A test tömege
k=0.75;  % Rugóállandó
b=0.25; % Csillapítás  

% A rendszer differenciálegyenlete:
% F=mx'' + bx' +kx

%% Állapotteres leírás mátrixokkal

% Állapotváltozók, be es kimenet:
% x_ = [x x']'
% u = F
% y = x
%
% Az állapotegyenletek: 
% x'  = x'
% x'' = -(k/m)x' - bx + (1/m)F
%
% Az állapotteres leírás:
% x_' = Ax_ + Bu
% y = Cx_ + Du
%
% Az állapotteres leírás mátrixai:

A = [0 1; -k/m -b/m]
B = [0; 1/m]
C = [1 0]
D = 0

sys=ss(A,B,C,D); % A rendszer összeállítása
 

Állapotvisszacsatolás tervezése

damp(A) % A rendszer sajátértékei, azok csillapítása (xi)
% és csillapítatlan sajátfrekvenciája (w0)

% Gyorsabb, de jobban csillapított zárt kört szeretnénk
w0=1;
xi=0.8;

% A zárt kör sajátértékei
sdom1=-w0*xi+j*w0*sqrt(1-xi^2);
sdom2=conj(sdom1);

% A zárt kör sajátértékeit tartalmazó vektor
phic=[sdom1 sdom2];
% Ha a rendszernek 2-nél több állapotváltozója lenne, akkor
% n-2 darab, a domináns poluspárnál 3-5ször gyorsabb, valós
% segédpólust (scinf) is bele kellene vennünk.

% Az irányíthatóság ellenőrzése
Mc=ctrb(A,B); % Az irányíthatósági mátrix...
rank(Mc)      % ... és rangja
% Ha rank(Mc) = n, akkor a rendszer irányítható!

% Állapotvisszacsatolás tervezése az Ackermann-képlet segítségével
K=acker(A,B,phic)

% A zárt kör sajátértékei az általunk előírt domináns póluspár lesz
damp(A-B*K)

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_1');
% A rendszerünk itt egy [-1 -0.1] kezdőértéket kap, azaz t=0-ban
% a lengőrendszer a nullpontjához képest -1 méterrel ki van mozdítva
% és éppen 0.1 m/s pillanatnyi sebességgel mozog a nullponja felé.
% A PLAY gombra nyomva láthatjuk, hogy a lengőrendszer a szabályzó
% segítségével beáll a nullhelyzetébe.

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause
 

Állapotmegfigyelő tervezése

% A megfigyelő sajátértékei jóval gyorsabbak mint a zárt kör sajátértékei
soinf=-5

% A megfigyelő karakterisztikus gyökei: soinf megfelelő multiplicitással (n)
phio=[soinf soinf]

% A megfigyelhetőség ellenőrzése
Mo=obsv(A,C); % A megfigyelhetőségi mátrix...
rank(Mo)      % ... és rangja
% Ha rank(Mo) = n, akkor a rendszer megfigyelhető

% Megfigyelő tervezése 
G=acker(A',C',phio)'
F=A-G*C
H=B

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_2');
% Ugyanaz a felállás mint az előbb, csak most állapotmegfigyelővel.
% Látható, hogy a szabályzás ugyanolyan hatékony maradt.

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause
 

Alapjel miatti korrekció

% Tervezés
NxNu=inv([A B; C 0])*[0;0;1];
% n darab 0-át kell az oszlopvektorba pakolni és a végére egyetlen 1-est.

% Az Nx-et és Nu-t tartalmazó vektor szétválasztása
Nx=NxNu(1:2) % Annyi elem, ahány állapotunk van
Nu=NxNu(end) % Skalár

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_3');
% Most már zérus kezdeti értékekkel indítjuk a legnőrendszert és cél, hogy
% 1 méterrel kimozdítsuk és stabilan ott tartsuk a testet.

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause
 

Terhelésbecslő tervezése

% A kibővített rendszer mátrixai
Atilde=[A B; 0 0 0]; % n+1 nulla az utolsó sorba (SISO)
Btilde=[B;0]; % Fixen 1 darab nulla a végére (SISO)
Ctilde=[C 0]; % Fixen 1 darab nulla a végére (SISO)

% A megfigyelő sajátértékeit tartalmazó vektorban soinf most egyel nagyobb
% multiplicitással szerepel (n+1), hiszen felvettünk egy új (fiktív) állapotot
phiotilde=[soinf soinf soinf];

% Megfigyelőtervezés a kibővített rendszerhez
Gtilde=acker(Atilde',Ctilde',phiotilde)'
Ftilde=Atilde-Gtilde*Ctilde;
Htilde=Btilde;

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_4');
% t=10 secnél egy egységugrás jellegű zavarás adódik a szakasz bemenetére.
% A modellben a K,Nu és Nx paraméterek ugyanazok, mint amiket korábban meghatároztunk.

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause
 

Integráló szabályozás tervezése

% Itt új K erősítésvektrot kell meghatározni, de a többi már
% meghatározott paraméter ugyanaz marad!

% A kibővített rendszer mátrixai
Ai=[A zeros(2,1);C 0];  % Az első sorban n*1-es nullmátrix
						% A második sorban fixen 1 darab nulla (SISO)
Bi=[B;0]; % Fixen 1 darab nulla a végére

% Az integrátor állapotának -3-as sajátértéket írunk elő
phictilde=[sdom1 sdom2 -3];

% Állapotvisszacsatolás számítása a kibővített rendszerre
Ktilde=acker(Ai,Bi,phictilde);

% Az állapotvisszacsatolás vektorának felbontása
Kt=Ktilde(1:2); % Annyi eleme van, ahány valódi állapotunk (n)
Ki=Ktilde(3);   % Skalár 

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_5');
% Vigyázat ez itt a terhelésbecslő nélküli modell továbbfejlesztése.
% Az integráló szabályozás is a bemenetre szuperponálódott zavarjelek
% kiküszöbölésére való. Itt Nu helyett egy Ki erősítés van és egy integrátor,
% valamint K helyett Kt !!!

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause