Szabályozástechnika - Laborjegyzetek

← Vissza az előző oldalra – Szabályozástechnika_(info)#Laborok

HalacS által feltöltött jegyzet3.txt (3. labor jegyzet (utf8)), jegyzet4.txt (4. labor jegyzet (utf8)), jegyzet5.txt (5. labor jegyzet (utf8)) fájlokból inkább Wiki-aloldalt készítettem, így könnyen szerkeszthető-bővíthető.--Haraszin Péter (vita) 2013. május 16., 09:50 (UTC)

3. labor

1) stabilitás vizsgálat a ZÁRT rendszer pólusai alapján

Azért zárt, mert a ki és bemeneten kívül mást nem látunk belőle.

            (s-z1)(s-z2)...
 H(s)=k * --------------------
             (s-p1)(s-p2)...

A zárt rendszer pólusainak valós része < 0 <=> a rendszer stabil

T(s)= s+5/(s^5+3s^4+4s^3+10s^2+5s-10)

Matlab:

 num = [1 5];
 den = [1 -3 4 10 5 -10];
 T = tf(num,den);

Egy rendszer pólusai, a nevező gyökei ezért: Matlab:

 p = roots(den)
 
 step(T)

Ebből érezhető, hogy nem stabil, de ennyi indoklás nem elég, mert lehet hogy később (amit nem ábrázol) már stabillá válik.

2) Nyquist stabilitási kritérium

Itt már van egy negatív visszacsatolás is a rendszerben, nem csak magára van hagyva a francba a rendszer. A bemenetet a kimenet függvényében húzza el a bemenetet, hogy azt kapjuk a kimeneten amit szeretnénk. Azaz a bemenetre a hiba kerül. Ha a hiba 0, nem csinál semmit.

Felnyitott kör: a visszacsatolást elhadjuk. Zárt szabályozási kör: visszacsatolással.

Tuy = L/(-1(L*(-1))) = L / (1+L)

Ha csak egy szimpla negatív visszacsatolás van és egy doboz fölül, aminek ismerjük az átvitelét, akkor jó a nyquist kritérium: A ZÁRT rendszer stabil (T), ha a NYITOTT KÖRNEK (L), PONTOSAN annyi labilis pólsa van ahányszor a felnyitott kör nyquist diagrammja megkerüli a -1+0j pontot az óra járásával ellentétes irányban.

Labilis pólus: a valós része pozitív

felvágja egy diagrammra a pólusokat meg a zérusokat: pzmap(T) pólus: x zérus: o (az ikszecskék a bal félsíkon legyenek akkor stabil)

1. példa

               -5
 L(s) = ---------------        <<-- a felnyitott kör átvitele
         (1+10s)(1+s)

       L   
 T = -----    <<-- zárt kör átvitele
      1+L

Matlab:

 s = zpk('s')
 L=(-5)/((1+10*s)*(1+s))
 nyquist(L)

--> pontosan 0 megkerülés 0 labilis pólussal -> a zárt rendszer stabil

Megnézzük azért az egész rendszerre is a stabilitást:

Matlab:

 T=L/(1+L)
 pzmap(T)

--> a jobb félsíkot már nem is ábrázolta, mert minden ikszecske a bal oldalt van -> oké

A 2. ábrán gyorsabban áll be stabilba. A különböző erősítés nem érdekes, mert arra lehet konstans erősítést rakni azt jóvan.

Matlab

 figure(1), step(L), figure(2), step(T)

                -5
 L(s) = ------------------
         (1-10s)(1+0,1s)

1-10s=0 P1 = 1/10 > 0 => instabil 1+0,1s=0 s=-10

Matlab:

 L2=-5/((1-10*s)*(1+0.1*s))
 nyquist(L2)

A*sin(wT) => G(w)*A*sin(wt+e(w))

A szög megmondja mennyire tér el a sin argumentuma a távolság pedig az erősítést.

Matlab:

 T2=L2/(1+L2)
 T2=minreal(T2)
 figure(1), step(L2), figure(2), step(T2)

instabil rendszerből egy negatív visszacsatolással stabil rendszert csináltunk.

A stabilitás jó hogy van, de kell valami mérőszám is hozzá.

1. fázistartalék
2. erősítési tartalék
3. modulus tartalék
4. késleltetési tartalék

L most stabil. Az a jó Nyquist-diagramm, ami a -1+0j és a 0 között megy el. A rendszer legyen nagyon stabil, azaz ne mennyen a nq diagramm túl közel a -1+0j ponthoz. Ez az erősítési tartalék (gm = gain margin) gm = 1/G(w) (de lehet máshogy is definiálni, csak ő ezt szereti)

A hibajelet többszörözve is belehet vinni a bemenetre (összegző és bemenet közé erősítő), ekkor gyorsul a stabilba állás (nagyobb hibát hazudunk be neki), de ezzel isntabilba is ellehet vinni a rendszert.

           1
 L = ---------------
     (0.5+s)(s^2+2s+1)

Matlab:

 L = 1/((0.5+s)*(s^2+2*s+1))
 nyquist(L)

--> wpi = 1,41

Re = -0,225

Im = 0

-> g=1/0,225=4,444

Matlab:

 TT1=4*L/(1+4*L)
 pzmap(TT1)
 % --> csak a negatív félsíkon vannak pólusai (zérusai??) a rendszernek
 
 TT2=5*L/(1+5*L)
 pzmap(TT1)
 % --> itt már a jobb félsíkon is vannak pólusok

Fázisban is érdekes, hogy milyen messze vagyunk a -1+0j ponttól. Lehet olyan perverz is a rendszer, hogy erősítési tartalékunk sok van, de fázis tartalék kevés. Ez az a szám, ami a legközelebbi pontnak a vízszinteshez viszonított eltérése fokban.

Matlab:

 [gm, pm, wg, wc] = margin(L)
 % ^   ^   ^   ^
 % |   |   |   |
 % |   |   |  vágási kör frekvencia
 % |   |   wpi
 % |   phase margin (a 60 fok már egész jó)
 % gain margin

Bode diagrammból:

 erősítési tartalék: ahol az alsó lemegy 180 fokra, azon a ponton a felső diagrammból 1/G(w)
 fázis tartalék: ahol a felső metszi az x tengelyt, ott az alsó 180-fi(w)

Modulus tartalék: a -1+0j pontból az első egység kör ami elmetsze a Nyquist diagrammot. (az erősítést és a fázisrontást kombinálva elszaródás kb) számolása:

ro+ = min|1+L(iw)|

w

késleltetési tartalék: ennyi holtidőt lehet plusszba hozzáadni a rendszerhez hogy még stabil maradjon

Matlab:

 [mag, phase, w] = bode(L)
 mag = mag(:)
 phase = phase(:)
 Tbl = [mag, phase, w]

->lett egy táblázat, aminek az oszlopai: G(w), E(w), w

ebből erősítési tartalék keresése: addig görgetjük a táblázatot, még meg nem találjuk, hogy G(w), -180, wpi (itt konkrétan: 0.2503 -176.0386 1.3394). Ebből tudjuk, hogy az erősítési tartalék G(w)=0.25 -> 1/0.25 = 4

     fázistartalék: addig keresünk az előbbi táblázatban, amég olyat nem találunk, hogy 1, pw, wc (itt konkrétan: 0.9927 -108.3126    0.5715) Ebből a fázistartalék: pw=-108 -> -180-(-108)=72

Modulus tartalék keresése:

Matlab:

 [mag2, phase2, w2] = bode(1+L)
 mag2 = mag2(:)
 ro=min(mag2)
 %    --> ro = 0.6317